新高考数学一轮复习基础版讲义第2章第7节 指数与对数的运算（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第2章第7节 指数与对数的运算（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了分数指数幂，有理指数幂的运算性质，对数的概念，对数的性质、运算性质与换底公式，故选D等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝0.
③(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).
④eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).
⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.有理指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
4.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
[常用结论与微点提醒]
换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,（－4）4)＝－4.( )
(2)分数指数幂aeq \f(m,n)可以理解为eq \f(m,n)个a相乘.( )
(3)lg2x2＝2lg2x.( )
(4)若MN＞0，则lga(MN)＝lgaM＋lgaN.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)由于eq \r(4,（－4）4)＝eq \r(4,44)＝4，故(1)错误.
(2)当eq \f(m,n)0).
解 eq \r(3,a\s\up6(\f(7,2))·\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－8)·\r(3,a12))＝
eq \r(3,a\f(7,2)·a－\f(3,2))÷eq \r(a－\f(8,3)·a4)＝aeq \f(2,3)÷aeq \f(2,3)＝1.
感悟提升 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加.
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
训练1 (1)(多选)已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是( )
A.a2＋a－2＝7 B.aeq \f(1,2)－a－eq \f(1,2)＝±1
C.aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2)＝±eq \r(5) D.aeq \f(3,2)＋a－eq \f(3,2)＝2eq \r(5)
答案 ABD
解析 将a＋a－1＝3两边平方，得(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，
所以a2＋a－2＝7，故A正确；
因为(aeq \f(1,2)－a－eq \f(1,2))2＝a－2＋a－1＝3－2＝1，aeq \f(1,2)，a－eq \f(1,2)的大小不确定，
所以aeq \f(1,2)－a－eq \f(1,2)＝±1，故B正确；
因为(aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2))2＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5，
又因为aeq \f(1,2)>0，a－eq \f(1,2)>0，所以aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2)＝eq \r(5)，故C错误；
由立方和公式，可得aeq \f(3,2)＋a－eq \f(3,2)＝(aeq \f(1,2))3＋(a－eq \f(1,2))3＝(aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2))(a－1＋a－1)＝eq \r(5)×(3－1)＝2eq \r(5)，故D正确.故选ABD.
(2)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5.
解 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2)))eq \s\up12(－\f(1,2))－eq \f(1,10)＝1＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).
考点二 对数的运算
例2 (1)lg381－lg98·lg23－2lg23＋lg eq \r(2)＋lg eq \r(5)＝________.
答案 0
解析 原式＝lg334－eq \f(3,2)·lg32·lg23－3＋lgeq \r(10)＝4－eq \f(3,2)－3＋eq \f(1,2)＝0.
(2)计算：eq \f(（1－lg63）2＋lg62·lg618,lg64)＝________.
答案 1
解析 原式＝eq \f(1－2lg63＋（lg63）2＋（1－lg63）（1＋lg63）,lg64)
＝eq \f(1－2lg63＋（lg63）2＋1－（lg63）2,lg64)
＝eq \f(2（1－lg63）,2lg62)＝eq \f(lg66－lg63,lg62)＝eq \f(lg62,lg62)＝1.
(3)已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示lg1815＝________.
答案 eq \f(b－a＋1,2b＋a)
解析 lg1815＝eq \f(lg 15,lg 18)＝eq \f(lg 3＋lg 5,lg 2＋2lg 3)＝eq \f(lg 3＋1－lg 2,lg 2＋2lg 3)＝eq \f(b－a＋1,2b＋a).
感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
训练2 (1)(2024·丽水质检)设lg83＝p，lg35＝q，则lg 5等于( )
A.p2＋q2 B.eq \f(1,5)(3p＋2q)
C.eq \f(3pq,1＋3pq) D.pq
答案 C
解析 ∵lg83＝eq \f(lg 3,lg 8)＝eq \f(lg 3,3lg 2)＝p，
∴lg 3＝3plg 2.
∵lg35＝eq \f(lg 5,lg 3)＝q，
∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
∴lg 5＝eq \f(3pq,1＋3pq).
(2)计算：lg535＋2lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \r(2)－lg5eq \f(1,50)－lg514＝________.
答案 2
解析 原式＝lg535－lg5eq \f(1,50)－lg514＋lgeq \s\d9(\f(1,2))(eq \r(2))2
＝lg5eq \f(35,\f(1,50)×14)＋lgeq \s\d9(\f(1,2))2＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg25)＋ln eq \f(1,e)＋lg35×lg259＋lg 4＋2lg 5＝________.
答案 eq \f(11,5)
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg25)＋ln eq \f(1,e)＋lg35×lg259＋lg 4＋2lg 5
＝2－lg25＋ln e－1＋lg35×lg5232＋lg 22＋2lg 5
＝2lg2eq \f(1,5)－1＋lg35×lg53＋2lg 2＋2lg 5
＝eq \f(1,5)－1＋eq \f(lg 5,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 5)＋2(lg 2＋lg 5)
＝eq \f(1,5)－1＋1＋2＝eq \f(11,5).
考点三 指数与对数运算的实际应用
例3 (1)(2020·新高考Ⅰ卷改编)基本再生数R0与世代间隔T是新冠感染的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠感染疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A.1.2天 B.1.8天
C.2.5天 D.3.5天
答案 B
解析 由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
得r＝eq \f(R0－1,T)＝eq \f(3.28－1,6)＝0.38.
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t2)＝2I(t1)，
即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，
即0.38(t2－t1)＝ln 2，
∴t2－t1＝eq \f(ln 2,0.38)≈eq \f(0.69,0.38)≈1.8(天).
(2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq \f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
答案 ACD
解析 法一 因为Lp＝20×lgeq \f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，
所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；
假设p2>10p3，则p010eq \s\up6(\f(Lp2,20))>10p010eq \s\up6(\f(Lp3,20))，
所以10eq \f(Lp2,20)－eq \f(Lp3,20)>10，
所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；
由Lp＝20×lgeq \f(p,p0)，得p＝p010eq \s\up6(\f(Lp,20)).因为Lp3＝40，
所以p3＝p010eq \s\up6(\f(40,20))＝100p0，故C正确；
因为eq \f(100p2,p1)＝eq \f(100p010\s\up6(\f(Lp2,20)),p010\s\up6(\f(Lp1,20)))＝10eq \f(Lp2,20)－eq \f(Lp1,20)＋2≥1，
所以p1≤100p2，故D正确.
综上，选ACD.
法二 由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，
lg p＝eq \f(Lp,20)＋lg p0，p＝10eq \f(Lp,20)p0，
对于A，eq \f(p1,p2)＝10eq \f(Lp1－Lp2,20)≥1，故A正确；
对于B，eq \f(p2,p3)＝10eq \f(Lp2－Lp3,20)≤10，故B错误；
对于C，eq \f(p3,p0)＝10eq \f(Lp3,20)＝100，故C正确；
对于D，eq \f(p1,p2)＝10eq \f(Lp1－Lp2,20)≤10eq \f(90－50,20)＝100，故D正确.
感悟提升 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤
(1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系；
(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.
训练3 (1)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：
lg 3≈0.48)( )
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
答案 D
解析 法一 设eq \f(M,N)＝x＝eq \f(3361,1080)，
两边取对数得lg x＝lg eq \f(3361,1080)＝lg 3361－lg 1080＝361×lg 3－80≈93.28，
所以x≈1092.38，即eq \f(M,N)最接近1093.
法二 因为lg 3＝eq \f(1,2)lg 9≈eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2)，361×lg 3－80≈100，
故与eq \f(M,N)最接近的是1093.
(2)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度( )
A.25天 B.30天
C.35天 D.40天
答案 B
解析 依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10%＝m·a10，,20%＝m·a20，))
解得m＝eq \f(1,20)，a10＝2，
当h＝40%时，40%＝eq \f(1,20)·at，
即40%＝eq \f(1,20)·a10·at－10，
解得at－10＝4＝(a10)2＝a20，
于是得t－10＝20，解得t＝30(天)，
所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
【A级 基础巩固】
1.若代数式eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，则eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,（x－2）4)＝( )
A.2 B.3
C.2x－1 D.x－2
答案 B
解析 由eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,2－x≥0，))解得eq \f(1,2)≤x≤2.
所以x－2≤0，2x－1≥0，
所以eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,（x－2）4)＝eq \r(（2x－1）2)＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.
2.(2022·浙江卷)已知2a＝5，lg83＝b，则4a－3b＝( )
A.25 B.5
C.eq \f(25,9) D.eq \f(5,3)
答案 C
解析 因为2a＝5，b＝lg83，
即23b＝3，
所以4a－3b＝eq \f(4a,43b)＝eq \f(（2a）2,（23b）2)＝eq \f(52,32)＝eq \f(25,9).
3.某品牌计算器在计算对数lgab时需按“lg(a，b).”某学生在计算lgab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“lg(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是( )
A.a＝2b B.b＝2a
C.a＝b2 D.b＝a2
答案 C
解析 由题意，得lgba＝4·lgab，
所以eq \f(ln a,ln b)＝eq \f(4ln b,ln a)，即(ln a)2＝(2ln b)2.
因为a>1且b>1，所以ln a＝2ln b，
即a＝b2，故选C.
4.(2024·天津质检)计算2lg32－lg3eq \f(32,9)＋(eq \r(2)－1)0＋lg38－25lg53的结果为( )
A.－7 B.－3
C.0 D.－6
答案 D
解析 2lg32－lg3eq \f(32,9)＋(eq \r(2)－1)0＋lg38－25lg53＝lg34－lg3eq \f(32,9)＋lg38＋1－52lg53＝lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×\f(9,32)×8))＋1－5lg59＝lg39＋1－9＝－6.故选D.
5.(2024·郑州调研)点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg eq \f(πr2,4)(单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为( )
A.18 dB B.20 dB
C.24 dB D.27 dB
答案 C
解析 当r＝5时，ΔL1＝10lg eq \f(25π,4)，
当r＝80时，ΔL2＝10lg 1 600π，
则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1 600π－10lg eq \f(25π,4)＝80lg 2＝80(lg 10－
lg 5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C.
6.(多选)已知a，b∈R，4a＝b2＝9，则2a＋b的值可能为( )
A.eq \f(1,24) B.eq \f(3,8)
C.eq \f(8,3) D.24
答案 BD
解析 由4a＝9，解得a＝lg49＝lg2232＝lg23，
当b2＝9时，解得b＝3＝lg28或b＝－3＝lg2eq \f(1,8)，
当b＝lg28时，a＋b＝lg23＋lg28＝lg2(3×8)＝lg224，所以2a＋b＝24，
当b＝lg2eq \f(1,8)时，a＋b＝lg23＋lg2eq \f(1,8)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(1,8)))＝lg2eq \f(3,8)，所以2a＋b＝eq \f(3,8).故选BD.
7.(多选)下列运算中，正确的是( )
A.2lg2eq \f(1,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(\f(2,3))＝－2
B.若a＋eq \f(1,a)＝14，则eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝4
C.若lg73＝a，lg74＝b，则lg742＝1＋eq \f(1,a)＋eq \f(b,2)
D.若4a＝6b＝9c，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝eq \f(2,b)
答案 AB
解析 对于A，2lg2eq \f(1,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \f(1,4)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \f(1,4)－eq \f(9,4)＝－2，正确；
对于B，因为a＋eq \f(1,a)＝14，所以eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))\s\up12(2))＝eq \r(a＋\f(1,a)＋2)＝4，正确；
对于C，因为lg73＝a，lg74＝b，
所以lg742＝lg77＋lg73＋lg72＝1＋lg73＋eq \f(1,2)lg74＝1＋a＋eq \f(b,2)，不正确；
对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，
但eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝eq \f(2,b)无意义，不正确.故选AB.
8.化简eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))(a＞0，b＞0)的结果是________.
答案 eq \f(a,b)
解析 eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))＝eq \f(a\s\up6(\f(3,2))b·a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,3)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·a－\f(1,3)·b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq \f(3,2)＋eq \f(1,6)－1＋eq \f(1,3)b1＋eq \f(1,3)－2－eq \f(1,3)＝ab－1＝eq \f(a,b).
9.若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝________.
答案 ln 2
解析 ex＝2 024，e－y＝1 012，
则eq \f(ex,e－y)＝eq \f(2 024,1 012)＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2.
10.计算：lg3eq \r(27)＋lg 25＋lg 4＋7lg72＋8eq \s\up6(\f(1,3))＝________.
答案 eq \f(15,2)
解析 原式＝lg33eq \s\up6(\f(3,2))＋lg 52＋lg 22＋2＋23×eq \f(1,3)＝eq \f(3,2)＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2
＝eq \f(3,2)＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2＝eq \f(3,2)＋2＋2＋2＝eq \f(15,2).
11.计算下列各式：
(1)(lg 2)2＋lg 5·lg 20；
(2)lg eq \r(2)4－lg23·lgeq \f(1,3)8；
(3)8eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,9)))eq \s\up12(0)＋(1.5)－4·eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))\s\up12(2))－[(－2)4]eq \f(1,2).
解 (1)原式＝(lg 2)2＋lg 5·lg(4×5)＝(lg 2)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
(2)原式＝4lg22＋3lg23·lg32＝4＋3＝7.
(3)原式＝2＋1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(\f(2,3))－4＝3＋eq \f(4,9)－4＝－eq \f(5,9).
12.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题：
(1)10 h后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，
lg 3≈0.477)
解 (1)由P＝P0e－kt可知，
当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝(1－10%)P0，
于是有(1－10%)P0＝P0e－5k，
解得k＝－eq \f(1,5)ln 0.9，
那么P＝P0·0.9eq \f(t,5)，
所以当t＝10时，P＝0.81P0，
即10 h后还剩下81%的污染物.
(2)当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9eq \f(t,5)，
解得t＝5lg0.90.5＝－5lg0.92＝－5×eq \f(lg 2,lg 0.9)＝－5×eq \f(lg 2,2lg 3－lg 10)≈33，
即污染减少50%大约需要花33 h.
【B级 能力提升】
13.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈eq \f(x,ln x)的结论.根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)( )
A.189 B.186
C.145 D.109
答案 C
解析 由题意知，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈eq \f(x,ln x)，则估计1 000以内的素数的个数为π(1 000)≈eq \f(1 000,ln 1 000)＝eq \f(1 000,\f(lg 1 000,lg e))≈eq \f(1 000,\f(3,0.434 29))≈145.故选C.
14.已知函数f(x)＝eq \f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)，g(x)＝eq \f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5).
(1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值；
(2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明.
解 (1)f(4)－5f(2)g(2)＝eq \f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－5×eq \f(2\f(1,3)－2－\f(1,3),5)×eq \f(2\f(1,3)＋2－\f(1,3),5)
＝eq \f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－eq \f(（2\f(1,3)－2－\f(1,3)）（2\f(1,3)＋2－\f(1,3)）,5)
＝eq \f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－eq \f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)＝0，
f(9)－5f(3)g(3)＝eq \f(9\f(1,3)－9－\f(1,3),5)－5×eq \f(3\f(1,3)－3－\f(1,3),5)×eq \f(3\f(1,3)＋3－\f(1,3),5)＝eq \f(3\f(2,3)－3－\f(2,3),5)－eq \f(3\f(2,3)－3－\f(2,3),5)＝0.
(2)由此概括出对所有不等于0的实数x有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下：
f(x2)－5f(x)g(x)＝eq \f(1,5)(xeq \f(2,3)－x－eq \f(2,3))－5×eq \f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)·eq \f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5)＝eq \f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)－eq \f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)＝0，
因此，等式成立.声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40