新高考数学一轮复习基础版讲义第4章第9节　三角函数模型及解三角形的实际应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第4章第9节　三角函数模型及解三角形的实际应用（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了方位角，方向角，坡度，5小时能截住该走私船？等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
[常用结论与微点提醒]
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
解析 (2)α＝β；
(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
2.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.
答案 eq \r(3)
解析 在△ABC中，易得A＝30°，
由正弦定理eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，
得AB＝eq \f(BCsin C,sin A)＝2×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3) km.
3.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝________m.
答案 12eq \r(7)
解析 设塔高CD＝x m，
则AD＝x m，DB＝eq \r(3)x m.
由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理得
842＝x2＋(eq \r(3)x)2－2eq \r(3)·x2cs 150°，
解得x＝12eq \r(7)(负值舍去)，
故塔高为12eq \r(7) m.
4.(必修一P241T6改编)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝______，t∈[0，60].
答案 10sin eq \f(π,60)t
解析 如图，设∠AOB＝α，
则α＝eq \f(2π,60)×t＝eq \f(π,30)t，
所以eq \f(α,2)＝eq \f(π,60)t，
因为5sin eq \f(α,2)＝eq \f(d,2)，
所以d＝10sin eq \f(α,2)＝10sin eq \f(π,60)t，t∈[0，60].
考点一 三角函数模型
例1 (多选)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t＋\f(π,3)))＋2
答案 ABC
解析 设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
h＝Asin(ωt＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(hmax＝A＋B＝6，,hmin＝－A＋B＝－2，,T＝\f(2π,ω)＝60，,h（0）＝Asin（ω·0＋φ）＋B＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝4，,B＝2，,ω＝\f(2π,T)＝\f(π,30)，,φ＝－\f(π,6)，))
故h＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋2，故D错误；
对于A, 令h＝6，即h＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋2＝6，
解得t＝20，故A正确；
对于B，令t＝155，代入h＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋2，
解得h＝2，故B正确；
对于C，令t＝50，代入h＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,6)))＋2，
解得h＝－2，故C正确.
感悟提升 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
训练1 (多选)(2024·河南名校调研)钱塘江出现过罕见潮景“鱼鳞潮”.“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A，ω∈N*，|φ|