新高考数学一轮复习基础版讲义第5章第1节　平面向量的概念及线性运算（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第5章第1节　平面向量的概念及线性运算（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了了解向量的实际背景，向量的线性运算，共线向量定理等内容，欢迎下载使用。
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【知识梳理】
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
[常用结论与微点提醒]
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
2.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(3)向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
2.(多选)下列命题中，正确的是( )
A.若a与b都是单位向量，则a＝b
B.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C.若用有向线段表示的向量eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(AN,\s\up6(→))不相等，则点M与N不重合
D.海拔、温度、角度都不是向量
3.(必修二P16例8改编)已知a，b是两个不共线向量，向量b－ta与eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b共线，则实数t＝________.
4.(必修二P14例6改编)在平行四边形ABCD中，BC的中点为M，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq \(AM,\s\up6(→))＝________.
考点一 平面向量的概念
例1 (1)(多选)下列命题正确的有( )
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))”⇔“四边形ABCD是平行四边形”
(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分条件是( )
A.a＝－bB.a∥b
C.a＝2bD.a∥b且|a|＝|b|
训练1 (1)下列命题中正确的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up6(→))的长度相等
B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C.a与b同向，且|a|>|b|，则a>b
D.两个终点相同的向量，一定是共线向量
(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量为( )
A.eq \(BA,\s\up6(→)) B.eq \(CD,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(OD,\s\up6(→))
考点二 平面向量的线性运算
例2 (1)(2024·太原模拟)在矩形ABCD中，E为AB边的中点，线段AC和DE交于点F，则eq \(BF,\s\up6(→))＝( )
A.－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))B.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))D.－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
(2)(2024·安庆调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则eq \(FE,\s\up6(→))＝( )
A.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,18)eq \(AC,\s\up6(→))B.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(11,9)eq \(AC,\s\up6(→))
C.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))D.－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))
训练2 (1)(2024·南充诊断)如图，在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝4eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,5)eq \(AC,\s\up6(→))B.eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))D.eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))
(2)(2024·河南部分学校联考)已知不共线向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则eq \(MN,\s\up6(→))＝( )
A.2a－2bB.2a＋2b
C.－2a－2bD.－2a＋2b
考点三 共线向量定理的应用
例3 (1)(2024·长沙质检)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b.若c与d共线，则实数x的值为( )
A.1B.－eq \f(1,2)
C.1或－eq \f(1,2)D.－1或－eq \f(1,2)
(2)(2024·潍坊调研)已知点M为△ABC中BC边上的中点，点N满足eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(AM,\s\up6(→))，过点N的直线与AB，AC分别交于P，Q两点，且设eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AQ,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的值为( )
A.5B.6C.9D.10
训练3 (1)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，AM与CN交于点D，eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))，则λ等于( )
A.eq \f(2,3)B.eq \f(3,4)C.eq \f(4,5)D.eq \f(5,6)
(2)(2024·枣庄质检)已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C.若eq \(OD,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，则x－y的值为( )
A.－1B.0C.1D.2
【A级 基础巩固】
1.化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为( )
A.a＋4bB.－a－9b
C.2a＋bD.a－3b
2.(多选)下列命题中正确的是( )
A.|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反
B.在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反
D.如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同
3.(多选)下列能化简为eq \(PQ,\s\up6(→))的是( )
A.eq \(QC,\s\up6(→))－eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→)))
C.(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＋(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→)))
D.eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BQ,\s\up6(→))
4.(2024·武汉质检)已知a，b是平面内两个不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋λb，eq \(AC,\s\up6(→))＝μa＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A.λ－μ＝1B.λ＋μ＝2
C.λμ＝1D.eq \f(λ,μ)＝1
5.在边长为1的正方形ABCD中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则|a－b＋c|等于( )
A.1B.2C.3D.4
6.(2024·渭南调研)如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则eq \(EF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)bB.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)bD.eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b
7.(2024·昆明诊断)在△ABC中，若AD为BC边上的中线，点E在AD上，且AE＝2ED，则eq \(EB,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))B.eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \f(7,6)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))D.eq \f(7,6)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up6(→))
8.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋2b，d＝a＋(2λ－3)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为________.
9.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为________.
10.在△ABC中，P是BC上一点，若eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则2λ＋μ＝________.
11.已知a，b不共线，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝d，eq \(OE,\s\up6(→))＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.
12.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)试用a，b表示eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))；
(2)证明：B，E，F三点共线.
【B级 能力提升】
13.(多选)下列命题正确的是( )
A.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))
B.在△ABC中，若O点满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则O点是△ABC的重心
C.若a＝(1，1)，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3，1)
D.在△ABC中，若eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(CA,\s\up6(→)),|\(CA,\s\up6(→))|)＋\f(\(CB,\s\up6(→)),|\(CB,\s\up6(→))|)))，则P点的轨迹经过△ABC的内心
14.经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))(m＞0，n＞0).
(1)证明：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)为定值；
(2)求m＋n的最小值.
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝
b＋a
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝
λa＋μa；
λ(a＋b)＝
λa＋λb