新高考数学一轮复习基础版讲义第5章第2节　平面向量基本定理及坐标表示（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第5章第2节　平面向量基本定理及坐标表示（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了理解平面向量基本定理及其意义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标运算，平面向量共线的坐标表示等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.平面向量的基本定理
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
[常用结论与微点提醒]
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设a，b是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
2.(必修二P31例7改编)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.
3.(必修二P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.
4.在△ABC中，点M，N满足eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→)).若eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________.
考点一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)(2024·安阳段测)在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，DE＝EC，CF＝2BF，设eq \(AE,\s\up6(→))＝m，eq \(AF,\s\up6(→))＝n，则eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,4)m＋eq \f(1,2)nB.eq \f(1,2)m＋eq \f(3,4)n
C.eq \f(3,5)m＋eq \f(4,5)nD.eq \f(4,5)m＋eq \f(3,5)n
(2)如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BD上，且eq \(EB,\s\up6(→))＝meq \(DE,\s\up6(→))(m∈R)，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且λ＋2μ＝0，则m＝________.
训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( )
A.若p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb
C.若eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))，则P，M，A，B共面
D.若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
(2)(2024·江西重点中学协作体联考)如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P.若eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则x＋y＝________.
考点二 平面向量的坐标运算
例2 (1)在平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up6(→))的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5))
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CE,\s\up6(→))＋μeq \(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________.
训练2 (1)已知M(－2，7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且eq \(PN,\s\up6(→))＝－2eq \(PM,\s\up6(→))，则P点的坐标为( )
A.(2，4)B.(－14，16)
C.(6，1)D.(22，－11)
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则( )
A.c＝2a－3bB.c＝－2a－3b
C.c＝－3a＋2bD.c＝3a－2b
考点三 平面向量共线的坐标表示
角度1 利用向量共线求参数
例3 (多选)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，3)，c＝(－1，2)，若(ma＋c)∥(a＋nb)(m，n∈R)，则(m，n)可能是( )
A.(2，1)B.(0，－1)
C.(3，2)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))
角度2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________.
训练3 (1)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|，则点P的坐标为( )
A.(3，1)B.(1，－1)
C.(3，1)或(1，－1)D.(3，1)或(1，1)
(2)(多选)(2024·德州模拟)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若连接AB，BC，AC能构成三角形，则实数m可以是( )
A.－2B.eq \f(1,2)C.1D.－1
【A级 基础巩固】
1.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A.(－23，－12)B.(23，12)
C.(7，0)D.(－7，0)
2.(2024·嘉兴调研)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若a＋2b与2a－b平行，则实数m＝( )
A.－eq \f(5,2)B.－eq \f(1,2)C.eq \f(3,2)D.eq \f(7,2)
3.(2024·西安质检)设k∈R，下列向量中可与向量q＝(1，－1)构成一个基底的是( )
A.b＝(k，k)B.c＝(－k，－k)
C.d＝(k2＋1，k2＋1)D.e＝(k2－1，k2－1)
4.如图，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))＝3eq \(CE,\s\up6(→))，则eq \(DE,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(3,4)b－eq \f(1,3)a B.eq \f(5,12)a－eq \f(3,4)b C.eq \f(3,4)a－eq \f(1,3)b D.eq \f(5,12)b－eq \f(3,4)a
5.(2024·湘潭部分校联考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c＝xa＋yb，则x＋y＝( )
A.－eq \f(5,2)B.eq \f(5,2)C.－4D.4
6.(2024·石家庄质检)在△ABC中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，则λ＝( )
A.eq \f(2,3)B.eq \f(3,4)C.eq \f(4,5)D.eq \f(5,6)
7.(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，E为BC的中点，则eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))B.eq \f(4,3)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))D.eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up6(→))
8. 若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为________.
9.(2024·河北部分学校联考)已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(m，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，3)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4，－2).若B，C，D三点共线，则m＝________.
10.若在△ABC中，AB＝eq \r(2)，∠ABC＝eq \f(π,4)，BC＝3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ－2μ＝________.
11.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标.
12.如图，在△ABC中，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(CN,\s\up6(→))交于点P，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，求x＋y的值.
【B级 能力提升】
13.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为________.
14.如图，在直角梯形ABCD中，|eq \(DA,\s\up6(→))|＝2，∠CDA＝eq \f(π,3)，eq \(DA,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，∠B为直角，E为AB的中点，eq \(DP,\s\up6(→))＝λeq \(DC,\s\up6(→))(λ∈R，0≤λ≤1).
(1)当λ＝eq \f(1,3)时，用向量eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))表示向量eq \(PE,\s\up6(→))；
(2)求|eq \(PE,\s\up6(→))|的最小值，并指出相应的实数λ的值.
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底