新高考数学一轮复习基础版讲义第2章第8节 指数函数（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第2章第8节 指数函数（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了指数函数的图象与性质，如图所示是指数函数等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1. 指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
[常用结论与微点提醒]
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与01>a>b>0.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).( )
(3)2－3＞2－4.( )
(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
解析 (1)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(1)错误.
(2)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(2)错误.
(4)m与n的大小关系与a的取值有关.
2.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
答案 A
解析 易知f(x)为偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正确.
3.(必修一P119T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
答案 C
解析 因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.
4.函数y＝2eq \f(1,x－1)的值域为________.
答案 {y|y＞0，且y≠1}
解析 函数的定义域为{x|x≠1}，
因为eq \f(1,x－1)≠0，所以y≠1，
又指数函数y＝2x的值域为(0，＋∞)，
故所求函数的值域为{y|y＞0，且y≠1}.
考点一 指数函数的图象及应用
例1 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A.a＞1，b＜0B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0D.0＜a＜1，b＜0
答案 D
解析 由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
所以0＜a＜1.
又f(0)＝a－b＜a0，
所以－b＞0，即b＜0.
(2)(多选)(2024·青岛质检)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0，1)时，eq \f(y1＋1,x1－1)的值可能等于( )
A.－1 B.－2
C.－3 D.0
答案 BC
解析 eq \f(y1＋1,x1－1)表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线的斜率k.
M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)图象上的动点，
如图，B(1，e)，则k∈(－∞，－2]，只有B，C满足.
感悟提升 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
训练1 (1)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(|x＋2|)的部分图象大致为( )
答案 B
解析 由题意得，f(x)的定义域为R，排除C，D；
当x≥－2时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(x＋2)，
因为0b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
答案 D
解析 法一 因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，
所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1；
因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，
所以0.60.5c.
法二 因为函数f(x)＝1.01x是增函数，
且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；
因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，
且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.
综上，b>a>c.
(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是( )
A.a＋b≤0 B.a－b≥0
C.a－b≤0 D.a＋b≥0
答案 D
解析 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，
∴ea－π－a≥e－b－πb，(*)
令f(x)＝ex－π－x，
则f(x)是R上的增函数，
(*)式即为f(a)≥f(－b)，
∴a≥－b，即a＋b≥0.
角度2 解简单的指数方程或不等式
例3 已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是( )
A.[2，4] B.(－∞，0)
C.(0，1)∪[2，4] D.(－∞，0]∪[1，2]
答案 D
解析 ∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x＞0，
∴0＜2x≤1或2≤2x≤4，
∴x≤0或1≤x≤2.
角度3 指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝eq \f(8x＋a·2x,a·4x)(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数.
(1)求a的值；
(2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围.
解 (1)f(x)＝eq \f(1,a)×2x＋eq \f(1,2x)，
因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以eq \f(1,a)×eq \f(1,2x)＋2x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)×2x＋\f(1,2x)))，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,2x)))＝0，
即eq \f(1,a)＋1＝0，解得a＝－1.
(2)因为f(x)＝eq \f(1,2x)－2x，x∈[1，2]，
所以eq \f(1,22x)－22x≥meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x)－2x))，
所以m≥eq \f(1,2x)＋2x，x∈[1，2]，
令t＝2x，t∈[2，4]，
由于y＝t＋eq \f(1,t)在[2，4]上单调递增，
所以m≥4＋eq \f(1,4)＝eq \f(17,4).
感悟提升 1.比较指数式的大小的方法是：
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.
2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
训练2 (1)(多选)下列各式比较大小正确的是( )
>1.73 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(2,3))>2－eq \f(4,3)
>0.93.1 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(\f(3,4))1，而0.93.1∈(0，1)，
所以1.70.3>0.93.1，故C正确；
因为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)为减函数，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(\f(3,4))