新高考数学一轮复习讲义第2章　§2.7　指数与指数函数（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝a.
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂： SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)eq \r(4,－44)＝－4.( )
(2)2a·2b＝2ab.( )
(3)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1的值域是(0，＋∞)．( )
(4)若am0，且a≠1)，则m教材改编题
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于( )
A．不确定 B．0 C．1 D．2
2．计算： SKIPIF 1 < 0 ＝________.
3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
题型一 指数幂的运算
例1 计算：
(1)(－1.8)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2·eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))2)－eq \f(1,\r(0.01))＋eq \r(93)； (2) SKIPIF 1 < 0 (a>0，b>0)．
思维升华
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 计算：
(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 .
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是( )
A．aB．若a<0，则bC．|a|<|b|
D．若0(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
思维升华 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练2 (多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1 B．00 D．b<0
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式大小
例3 设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则( )
A．bC．a命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4 已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
命题点3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝eq \f(8x＋a·2x,a·4x)(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若∀x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．
思维升华
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
跟踪训练3 (1)(多选)已知函数f(x)＝eq \f(3x－1,3x＋1)，下列说法正确的有( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1,1)
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0
(2)已知函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，若f(x)有最大值3，则a的值为________．
课时精练
1．若m＝eq \r(5,π－35)，n＝eq \r(4,π－44)，则m＋n的值为( )
A．－7 B．－1 C．1 D．7
2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
3．函数y＝ax－eq \f(1,a)(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ＝5，则eq \f(x2＋1,x)的值为( )
A．5 B．23 C．25 D．27
5．(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(aA．2a＋2b>2
B．∃a，b∈R，使得0C．2a＋2b＝2
D．a＋b<0
6．对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为( )
A．(0,6] B．(0,20]
C．[2,6] D．[2,20]
7．计算化简：
(1) SKIPIF 1 < 0 ＝________；(2) SKIPIF 1 < 0 ＝________.
8．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________．
9．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．
10．函数f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a的值．
11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0
B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0
C．若xD．f(x)的值域为[0,2)
12．若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________．
13．已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为( )
A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)
C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)
14．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________．
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数