新高考数学一轮复习讲与练8.7 指数运算及指数函数（精讲）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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考点呈现
例题剖析
考点一 指数的运算
【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）计算：
(1)
(2)；
(3)
(4)求值：
【答案】(1)(2)(3)625(4)
【解析】由对数和指数的运算求解即可.
(1)
(2)
(3)原式
.
(4)
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)因为，且，所以；
(2)因为，所以，则，因为，所以舍去）；
(3)解：.
3（2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；
（2）已知是方程的两根，求的值.
【答案】（1）16；（2）．
【解析】（1）原式＝；
（2）由题意，，又，而，所以，
所以
，
考点二 指数函数的三要素
【例2-1】（2022大同期中）函数 是指数函数，则有（ ）
A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a＞0且a≠1
【答案】C
【解析】由已知得 ，即 ，解得 。 故答案为：C
【例2-2】（2022赣州）函数 的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的值域是 ．故答案为：B．
【一隅三反】
1．（2022保山月考）若函数 是指数函数，则（ ）
A． 或 B．
C．D． 且
【答案】C
【解析】由题意得 ，解得 . 故答案为：C
2．（2022湖北期末）已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得：
∴5．故答案为：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．
【答案】
【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
故答案为：.
4．（2022·上海·高三开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】令，由题意得的值域为，
又的值域为，所以解得
所以的取值范围为．故答案为：
考点三 指数函数的性质
【例3-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，
由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，
又在区间上是增函数，所以，故有.故选：B．
【例3-2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））设函数则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】①当时，，此时，不合题意；
②当时，，可化为，所以，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：B．
【例3-3】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为.所以.
因为.所以.所以.故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又恒成立，即恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，即；
故选：B
3．（2022·上海长宁·二模）若函数存在反函数，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数存在反函数，
所以函数在上单调，
若单调递增，即，则在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，所以；
若单调递减，即，则在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，所以；综上可得；故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
【答案】
【解析】因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，
函数图象如图所示：
由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．
故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.
【答案】.
【解析】函数的定义域为R.
因为，所以，所以，即是奇函数.
因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.
所以可化为.
所以，解得：或.故答案为：.
考点四 指数函数的综合运用
【例4】（2022南京月考）已知函数 函数
（1）若 的定义域为R求实数m的范围.
（2）若函数y=|f(x)-3|-k=0在区间[-2，1]上有且仅有1个解，求实数k的范围，
（3）是否存在实数a，b使得函数 的定义域为[a，b]且值域为[2a，2b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）解： 定义域为R，
则 对任意 恒成立，
时， 不恒成立，
时， 且 ，解得 ；
综上，实数m的取值范围是 .
（2）解： 即 ，由方程有解可得 ，
时， 仅有一解 ，满足题意；
时， ，
在 上单调递减，值域为 ，
则 仅有一个属于 ， 时 ，
时 ，
两式仅有一个成立可得 ；
综上k的范围是 .
（3）解：令 ；
在 递增， 递减，
若 ，则 在 递增，则值域为 ，
此时 ， ，即a，b为 两解，
由 可得 ， ，满足 ；
若 ，则 在 递增， 递减，则 最大值为 ，
则 ，即 ，不满足 ；
若 ，可得 ，而 ，不满足值域为 ；
综上，存在 ， 满足题意.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．为偶函数B．是增函数
C．不是周期函数D．的最小值为
【答案】AD
【解析】选项A，由得，函数定义域是，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，正确；
选项B，定义域是，，即是奇函数，易知是R上的增函数，函数值域为R，，所以存在，值得，从而，于是，，但，所以不是增函数，B错；
选项C，定义域是R，，因此是函数的一个周期，C错；
选项D，由上推理知是奇函数，时， ，
时，，易知函数为增函数，所以，综上函数最小值是1，D正确．
故选：AD．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象关于坐标原点对称B．的图象关于轴对称
C．的最大值为1D．在定义域上单调递减
【答案】AD
【解析】因为，所以为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；
因为，，，所以不是偶函数，图象不关于轴对称，故不B正确；
因为，又，所以，所以，
所以，故C不正确；
因为，且为增函数，所以在定义域上单调递减，故D正确.
故选：AD
3．（2022张掖期末）已知函数 （ ）在区间 上有最大值 和最小值 .设 .
（1）求 ， 的值；
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵ ，∴ 为开口向上的抛物线，对称轴为： ，在 上是减函数，∴ ，解得
（2）解： .
由于 则有 整理得
令 ，则 .
∵ ，∴
令 ， 则
∵ 有解，∴ .
故符合条件的实数 的取值范围是