新高考数学一轮复习基础版讲义第2章第5节 函数的对称性及应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第2章第5节 函数的对称性及应用（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了两个函数图象的对称等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称.
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(－2，0).
2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称.
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称.
[常用结论与微点提醒]
对称性的四个常用结论
(1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a对称；
(2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称；
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称.
特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.( )
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.( )
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.( )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
解析 (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称.
(3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝
－f(x)，所以f(－x)≠f(x)，故f(x)的图象不关于y轴对称.
2.函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)图象的对称中心为( )
A.(0，0) B.(0，1)
C.(1，0) D.(1，1)
答案 B
解析 因为f(x)＝eq \f(x＋1,x)＝1＋eq \f(1,x)，
由y＝eq \f(1,x)向上平移一个单位长度得到y＝1＋eq \f(1,x)，
又y＝eq \f(1,x)关于(0，0)对称，
所以f(x)＝1＋eq \f(1,x)的图象关于(0，1)对称.
3.(必修一P87T13改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝______.
答案 4
解析 法一 由y＝f(x＋2)－3是奇函数，
∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，
令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.
法二 由y＝f(x＋2)－3是奇函数，
得f(x)关于(2，3)对称，
故f(0)＋f(4)＝6，
即f(0)＝4.
4.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.
答案 5
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，
所以f(－1)＝5.
考点一 函数的对称性
例1 (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(eq \f(1,x)＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f(eq \f(1,x))关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由.
解 假设存在a，b, 使得曲线y＝f(eq \f(1,x))关于直线x＝b对称.
令g(x)＝f(eq \f(1,x))＝(x＋a)ln(1＋eq \f(1,x))＝(x＋a)ln eq \f(x＋1,x)，
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，
所以g(x)＝g(2b－x)，
即(x＋a)ln eq \f(x＋1,x)＝(2b－x＋a)ln eq \f(2b－x＋1,2b－x)＝(x－2b－a)ln eq \f(x－2b,x－2b－1)，
于是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2b－a，,1＝－2b，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))
当a＝eq \f(1,2)，b＝－eq \f(1,2)时，g(x)＝(x＋eq \f(1,2))ln(1＋eq \f(1,x))，
g(－1－x)＝(－x－eq \f(1,2))ln eq \f(－x,－1－x)＝(－x－eq \f(1,2))ln eq \f(x,1＋x)＝(x＋eq \f(1,2))ln eq \f(x＋1,x)
＝(x＋eq \f(1,2))ln(1＋eq \f(1,x))＝g(x)，
所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－eq \f(1,2)对称，满足题意.
故存在a，b，使得曲线y＝f(eq \f(1,x))关于直线x＝b对称，且a＝eq \f(1,2)，b＝－eq \f(1,2).
感悟提升 1.函数y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝
f(－x).
2.函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(2a－x)＋f(x)＝2b或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b.
3.函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象( )
A.关于直线x＝1对称B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称D.关于点(3，0)对称
答案 A
解析 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.
(2)(多选)关于函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)有如下四个命题，其中正确的是( )
A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的图象关于原点对称
C.f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称D.f(x)的图象关于点(π，0)对称
答案 BCD
解析 ∵f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，
f(－x)＝sin(－x)＋eq \f(1,sin（－x）)＝－sin x－eq \f(1,sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确；
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，
∴f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，故C正确；
又f(x＋2π)＝sin(x＋2π)＋eq \f(1,sin（x＋2π）)
＝sin x＋eq \f(1,sin x)，f(－x)＝－sin x－eq \f(1,sin x)，
∴f(x＋2π)＝－f(－x)，
∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确.
考点二 对称性与周期性
例2 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2 023)＝( )
A.1 B.－2
C.－1 D.2
答案 D
解析 法一 因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，
则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.
法二 由f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，
由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.
(2)(2024·泉州质测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当1≤xf(2 022)>f(2 023)
答案 AC
解析 由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)图象的对称轴方程为x＝1，
所以f(0)＝f(2)，
又由f(1＋x)＝f(1－x)，
可知f(2＋x)＝f(－x).
因为函数f(x)的图象关于(2，0)对称，
即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，
所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，
所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正确，B错误.
因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，
又f(x)的图象关于(2，0)对称，
所以f(x)在[0，1)上单调递增，
因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(x)在(1，2]上单调递减，
则函数f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确.
根据f(x)的周期为4，可得f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(2)，f(2 023)＝f(3)，
因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)，
即f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(0)，f(2 023)＝f(－1)，
由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，
若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立，故D错误.
感悟提升 解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式.
训练3 (2024·成都诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋1)，则下列不等式正确的是( )
A.f(lg27)2，解得x>eq \f(1,2)，
因此不等式f(x)>eq \f(1,3)的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(2)g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)＝eq \f(2·2x,2x＋2－x)，
则g(－x)＝eq \f(2·2－x,2－x＋2x)，
所以g(x)＋g(－x)＝eq \f(2（2x＋2－x）,2x＋2－x)＝2，
因此函数g(x)＝eq \f(2x＋1,2x＋2－x)图象的对称中心为(0，1).