初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.2 平行四边形第2课时教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.2 平行四边形第2课时教案设计，共12页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教材分析
本节课是人教版初中数学八年级下册“平行四边形”单元的核心判定定理课，承接了平行四边形的定义和性质，是后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的重要基础，在四边形知识体系中起到承上启下的关键作用.
教材先提出问题：从“只考虑一组对边”出发，引导学生思考平行四边形的判定条件；接着通过对平行四边形性质的逆向思考，猜想“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.通过连接对角线，利用三角形全等证明猜想的正确性，形成判定定理.最后通过例5和课后练习，让学生运用新定理解决问题，加深理解.

二、学情分析
1.已有基础
学生已经掌握了平行四边形的定义(两组对边分别平行)和性质(对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分)，并具备了利用三角形全等证明线段或角相等的能力.
2.存在困难
①容易混淆“两组对边分别相等”和“一组对边平行且相等”这两个判定定理的适用条件；
②在证明过程中，难以快速找到合适的辅助线(如连接对角线)来构造全等三角形；
③对“平行且相等”这一符号的理解和使用不够熟练.
3.认知特点
八年级学生的抽象思维能力正在发展，对直观、可操作的探究活动兴趣浓厚，他们更倾向于通过观察、猜想、验证的过程来获取知识，而不是被动接受结论.

三、教学目标
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理.
2.能运用该定理进行简单的证明和计算.
3.经历“观察——猜想——证明——应用”的数学探究过程，发展逻辑推理能力；体会转化思想，将四边形问题转化为三角形问题解决.
4.在探究活动中体验数学发现的乐趣，增强学习数学的信心；感受数学知识之间的内在联系，培养严谨的治学态度.

四、教学重难点
重点：掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理；
难点：能运用该定理进行简单的证明和计算.

五、教学过程
复习回顾
上节课我们学习了哪些判定平行四边形的方法？
答：1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
追问：如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢?
师生活动：教师出示问题引导回顾，学生集体口述4种判定方法；教师板书梳理，随即抛出追问，引发学生聚焦“一组对边”的判定条件，开启新课探究.
设计意图：通过复习巩固旧知，构建判定方法知识框架，以追问制造认知冲突，自然衔接本节课核心内容，激发学生探究欲.
探究新知
活动一：探究判定平行四边形的方法
问题1：对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论?
师生活动：教师分步抛出问题1、2，结合图形引导学生分析平行四边形对边的位置与数量关系；学生观察思考并口述结论，在教师引导下由性质逆向猜想判定方法，教师最后提出证明追问.
分析：由平行四边形的定义可得：AB//CD，AD//BC
由平行四边形的性质可得：
AB=CD，AD=BC.
答：位置关系：平行四边形的对边平行.
数量关系：平行四边形的对边相等.
问题2：类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定一个四边形是平行四边形的方法吗?
答：性质：如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
追问：你能证明这个猜想吗?
设计意图：以图形为依托，通过层层设问引导学生完成“性质→逆向猜想”的思维过程，渗透逆向探究思想，为定理证明做好铺垫.
问题3：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
∥表示平行且相等．
AB∥CD 表示 AB∥CD AB = CD
师生活动：教师出示问题3，引导学生分析证明思路；学生尝试连接对角线，通过三角形全等完成证明；教师追问其他方法，学生展示不同证法，最后师生共同归纳判定定理及符号语言.
分析：条件中已有 AB＝CD，只需证明 AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定．
证明：连接AC.
∵AB//CD，∴12.
又 ABCD，ACCA，
∴△ABC≌△CDA. ∴BCDA.
又 ABCD
∴四边形ABCD是平行四边形.
追问：你还有其他证明方法吗?
方法二：
证明：连接 BD.∵AB∥CD，∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，BD = DB，
∴△ABD ≌△CDB .（SAS）
∴∠3 = ∠4，∴ AD ∥ BC.
又 AB ∥ CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形的判定方法5：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
在四边形 ABCD 中，
∵AB∥CD，AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
设计意图：通过一题多证，让学生体会转化思想，巩固全等三角形知识，同时完成从猜想到定理的生成过程，培养逻辑推理与多角度思考能力.
问题4：一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明．
师生活动：教师抛出问题4、5，引导学生辨析命题真假；学生尝试证明或构造反例(如等腰梯形、特殊四边形)，师生共同总结易错点，最后梳理判定思路表，形成清晰的解题框架.
答：如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，四边形 ABCD 是等腰梯形．
总结：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．
问题5：一组对边相等，一组对角相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明．
答：如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，∠B＝∠D，四边形 ABCD 不是平行四边形．
总结：一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．
总结：灵活选择平行四边形的判定方法：
设计意图：通过辨析易错命题和构造反例，破除思维定式，深化对判定条件的精准理解；通过梳理判定思路，帮助学生形成结构化知识，提升灵活解题能力.
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师出示例1，引导学生分析图形与条件；学生结合平行四边形性质和中点条件，尝试证明；教师板书规范证明过程，强调“一组对边平行且相等”的判定应用.
例1 如图，在 □ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点. 求证 DE ∥BF .
分析：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
又 EB12AB，DF12CD.
∴EB ∥DF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴DE ∥BF.
设计意图：通过例题示范，让学生掌握新判定定理的规范使用，巩固“性质→判定”的推理链条，提升逻辑表达与解题能力.
【经典例题】
师生活动：教师出示例2、例3，引导学生分步分析条件；学生先独立思考，再小组讨论，尝试用平行四边形判定定理推理；教师板书规范证明与方程求解过程，强调分类讨论思想.
例2 如图，在□ABCD中，BE=DF，M，N分别是DE，BF的中点.求证：EN=FM
分析：先证四边形 BEDF是平行四边形，得DE//BF且DE= BF；再由中点得EM= FN，证四边形ENFM 是平行四边形，从而 EN= FM.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD， BE//DF
又 BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
∴DE//BF，DE=BF
∵M，N分别是DE，BF的中点，
∴ME=NF.
又 ME//NF
∴四边形MFNE为平行四边形
∴EN=FM.
例3 如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD = 9cm，BC = 6cm.P，Q分别是AD，BC上的动点，点P以1cm/s 的速度由点A出发向终点D运动，同时点Q以2cm/s的速度由点C出发向终点B运动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动.经过几秒，直线 PQ 在四边形 ABCD 上截出一个平行四边形？
分析：
解：设点 P，Q运动的时间为t s.
依题意，得 AP = t cm，CQ = 2t cm.
则BQ = (6－2t) cm，PD = (9－t) cm.
∵AD//BC，∴分两种情况讨论：
①当 BQ = AP 时，四边形 APQB 是平行四边形，
此时 6－2t = t，解得 t = 2.
②当 CQ = PD 时，四边形 CQPD 是平行四边形，
此时 2t = 9－t，解得 t = 3.
综上所述，经过2s或3s，直线 PQ 在四边形 ABCD 上截出一个平行四边形.
设计意图：通过例2巩固“判定定理嵌套使用”，通过例3融合动点问题与分类讨论，提升学生综合应用与逻辑推理能力，实现从静态证明到动态分析的能力迁移.
课堂练习
【教材练习】
1. 如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗？
解：夹在铁轨之间的枕木互相平行且相等，即四边形的一组对边平行且相等，故该四边形为平行四边形，因此铁轨（另一组对边）互相平行.
2. 如图，在 □ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F . 求证：四边形 AFCE 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD = BC，AD∥BC，
∴∠ADE = ∠CBF.
又 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴易得∠AED = ∠CFB = 90°，AE∥CF.
∴△AED≌△CFB（AAS），∴AE = CF.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
3. 如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个 平行四边形？为什么？
解：有 6 个平行四边形.
□ ABOF □ AOEF
□ ABCO □ BCDO
□ CDEO □ DEFO
师生活动：教师出示教材练习，引导学生联系生活实例(铁轨枕木)思考；学生独立完成证明与图形计数，教师巡视指导，最后集体订正，强调“一组对边平行且相等”的判定应用.
设计意图：通过生活情境题，让学生感受数学与生活的联系；通过证明题与图形计数题，巩固判定定理，提升学生的逻辑推理与几何直观能力.
【限时训练】
1.如图，在四边形ABCD中，AD // BC，添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的为( )
A. AD=BCB. AB // DCC. AB=DCD. ∠A=∠C
【答案】C
2.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F.若AE=CF，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【答案】证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.∵DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD，∴Rt△DCE≌Rt△BAF(HL)，∴∠DCE=∠BAF，∴CD//AB.∵CD=AB，∴四边形ABCD为平行四边形．
3.如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，点D，F分别在BC，AC上，且DC=CF.求证：EF // BC，且EF=BC.
【答案】证明：连接BE．
∵△ABC与△ADE均为等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD=60°．
∵CF=CD，∠BAC=60°，
∴∠ABE=∠BAC，BE=CF，
∴BE // AC，
∴四边形BEFC为平行四边形，
∴EF // BC，EF=BC．
4.如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AB=DE，AF=DC，BC=EF．
(1)求证：△ABC≌△DEF;
(2)连接BF、CE，判断四边形BFEC的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明：∵AF=CD，
∴AF+CF=CD+CF，
即AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DEBC=EFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：
∵△ABC≌△DEF
∴∠ACB=∠DFE，
∴BC//EF，
又∵BC=EF，
∴四边形BFEC是平行四边形．
5.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，
等边△ABE，已知∠BAC=30∘，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：(1)AC=EF;
(2)四边形ADFE是平行四边形;
(3) AC⊥DF．
【答案】证明：(1)∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF，AB=AE，
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
AF=BCAB=AE,
∴△AFE≌△BCA(HL)，
∴AC=EF；
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF//AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
(3)∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE//FD，
∴∠EAC=∠AGD=90°，
∴AC⊥DF．
师生活动：教师出示5道分层练习题，学生先独立完成，再小组交流；教师针对易错点(如第1题反例辨析)进行点评，引导学生规范证明步骤，最后总结解题思路.
设计意图：通过选择题辨析易错条件，通过多道证明题巩固“一组对边平行且相等”等判定方法，融合全等三角形与动点知识，提升综合推理与知识迁移能力.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.从边、角、对角线的角度分别说一说平行四边形的判定定理有哪些？

设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：“平行四边形大富翁”
任务：设计一个两人对战的桌面游戏：
①游戏板上有若干个点，玩家轮流用线段连接两点，每连接一条线段就获得1分；
②当玩家连接的线段与已有的某条线段满足“平行且相等”时，即可额外获得3分，并形成一个平行四边形；
③游戏目标是在规定回合内获得最高分数.
要求：①画出你的游戏板设计图；
②制定详细的游戏规则，明确如何判定形成了平行四边形；
③与家人或同学玩一局，记录游戏过程和结果，并反思规则设计的合理性.