新高考数学二轮复习专项训练02 导数与不等式证明（2份，原卷版+解析版）

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一、单变量函数不等式的证明
用导数证明不等式一般有以下方法
(1)构造函数法．
(2)由结论出发，通过对函数变形，证明不等式．
(3)分成两个函数进行研究．
(4)利用图象的特点证明不等式．
(5)利用放缩法证明不等式．
二、双变量函数不等式的证明
破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果．
一、单选题
1．（2023·福建·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高三下·安徽安庆·阶段练习）已知，都是正整数，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2025·广东·模拟预测）记函数在区间的极值点分别为，，函数的极值点分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·重庆万州·模拟预测）若函数，，满足对均有，则的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．9
三、填空题
5．（2022·河南·模拟预测）已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是 .
6．（2021·河南郑州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为 .
四、解答题
7．（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
8．（2023·甘肃酒泉·三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2021·全国·模拟预测）已知且且且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知 ， ，且 则以下正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·广东茂名·二模）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（ ）
A．B．C．D．1
三、填空题
6．（2021·湖北武汉·三模）当x≠0时，函数f(x)满足，写出一个满足条件的函数解析式f(x)= ．
7．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
8．（2024·北京石景山·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值与最小值；
(3)当时，求证：．
9．（2022·广东广州·一模）已知函数，为的导数.
(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.
10．（2025·全国·模拟预测）设函数
(1)分析的单调性和极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；
(3)若，且满足时，证明：.
11．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2022·江苏·二模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建福州·模拟预测），则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
4．（2022·全国·模拟预测）已知a，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河北沧州·一模）已知函数与函数的图象相交于两点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·海南海口·模拟预测）设函数，则（ ）
A．
B．函数有最大值
C．若，则
D．若，且，则
三、填空题
7．（2023·浙江温州·二模）已知函数，则的最小值是 ；若关于的方程有个实数解，则实数的取值范围是 .
8．（2024·北京西城·三模）已知函数，下面命题正确的是 .
①存在，使得；
②存在，使得；
③存在常数，使得恒成立；
④存在，使得直线与曲线有无穷多个公共点.
9．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最小值为 .
四、解答题
10．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
11．（2023·山东潍坊·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
12．（2024·广东佛山·二模）已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.