新高考数学二轮复习提分练习12 导数解答题之证明不等式问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提分练习12 导数解答题之证明不等式问题（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习提分练习12导数解答题之证明不等式问题原卷版doc、新高考数学二轮复习提分练习12导数解答题之证明不等式问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例1．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中质量评估理科数学试题）已知函数，.
(1)若恒成立，求实数m的取值范围；
(2)求证：当时，.
【解析】
(1)令，
则
所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，
若恒成立，则，即.
(2)证明：由（1）可知恒成立，即，
要证，只需证明成立即可.
设，则，
设，
则，易得在上单调递减，在上单调递增，
又，，因为，所以，所以存在，使得，
所以当时，；当时，.
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
因此，当时，，
故当时，.
例2．（2023届高三数学一轮复习）已知函数，且函数与有相同的极值点.
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.
【解析】（1）的定义域为，，由得，
易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，
，依题意有，解得，经验证符合题意，故.
（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，
又，且，
当时，，.
① 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
，又，
此时的取值范围为；
② 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
所以，又，
此时的取值范围为.
综上，实数的取值范围为.
（3）证明：所证不等式即为，
下证：，即证，
设，则，
令，则，
易知函数在上单调递减，且，
故存在唯一的，使得，即，，
且当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减，
，
在单调递减，
又时，，故，即；
再证：，即证在上恒成立，
设，，
在单调递增，则，即，
故，
综上，.
例3．（云南省昆明市2023届高三摸底考试数学试题）已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：．
【解析】(1)，，，
故曲线在点处的切线方程为.
即．
(2)设，
则
．
由（1）知，又，
所以，所以在上单调递增，故，
所以，，．
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若，判断函数的单调性；
(2)证明：.
【解析】（1）因为，
所以,
因为，所以在上，
由，解得.
当时，，故在上为增函数；
当时，，在上为减函数.
（2）证明：由（1）知，当时，
在上为增函数，在上为减函数.
因为，
所以，
故，
所以，
所以.
设，
所以在上为减函数.
又，则，所以，
所以.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）依题意，的定义域为，
由，得，
因为是的极值点，所以，即，即
当1时，，
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
所以f（x）在处取得极大值，符合题意
因此
（2）当时，要证，只需证，
即证，等价于证明
令，则
令，则，所以对恒成立，
故 在 单调递减，
又，所以，
所以在上恰有一个零点，且．
当时，，即，所以在单调递增；
当时，，即，所以在单调递减，
所以．
又因为，即，即，即，即，
所以
所以，
又因为，所以，即，
因此，即，圆
例6．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设，，．
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，．
【解析】（1），
∵，
令，得；令，得；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）设，
若证成立，即证．
，
，
当时，，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以恒成立．
当时，，令，
则对称轴为直线，
所以当时，函数单调递增，
当时，取最小值，
所以，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以恒成立，
综上：当时，恒成立．
即．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：．
【解析】(1)由题可知，，．
若，，所以在上单调递增，在上单调递减；
若，令，解得或（舍），
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
(2)证明：若，要证，即证，即证．
令函数，则．
令，得；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
令函数，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
因为，所以，
即，从而得证．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
【解析】(1)由题意可得.
由，得；由，得.
在上单调递减，在上单调递增，
故.
(2)证明：要证，即证，
即证.
设，则，
由，得，由，得，
则，当且仅当时，等号成立.
设，则.
由（1）可知当时，.
由，得，由，得，
则，当且仅当时，等号成立.
因为与等号成立的条件不同，
所以，即.
【过关测试】
1．（2023秋·山东德州·高三统考期末）设函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若直线是函数的切线，求实数的值；
(3)当时，证明：．
【解析】（1）函数的定义域为，
因为，所以，
设，则，
所以函数在区间上单调递增，即函数在区间上单调递增，
又因为，所以，，在上为减函数，
，，在上为增函数.
（2）由（1）得
设切点为，则，
因为，所以，得，
所以
设，则，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
所以
因为方程仅有一解，所以；
（3）因为，
设，则有
所以在单调递增．
因为，
所以存在，使得，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
因为，所以，
所以．
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性及极值，并判断方程的实根个数；
(2)证明：．
【解析】（1），函数定义域为，，
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，时，， 时，，
在上单调递减，在上单调递增，有极小值．
方程可变形为，即，
当时，，有，在上单调递增，则有，
函数和的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以在上有唯一实根，故原方程有唯一实根．
（2）证明：由知，所要证的不等式等价于，
等价于．（*）
令，则不等式（*）等价于（**）．
构造函数，求导，得．
当时，，函数是减函数；
当时，，函数是增函数．
所以．即（**）成立．故原不等式成立．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，都有.
【解析】（1），令，则，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）要证明，即证，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，所以，
要证，
因为时，，，此时不等式成立，
当时，，，
只需再证时，即可.
令，
，所以，当且仅当时取等号，
所以时，；
综上所述，当时，都有.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)讨论在区间上的单调性；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）因为函数，，所以，，
由，得，
当，即时，，在区间上单调递减；
当，即时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在，上单调递减；
综上可得，当时，在区间上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
（2）当时，，要证，
即证，即证，
令，，则，
令，可得，令，可得，
所以在单调递减，在单调递增，所以，
所以，所以，
所以，得证．
5．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知函数．
(1)若在上恒成立，求实数a的值；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）当时，，当时，，不符合题意；
当时，，又时，，不符合题意；
当时，，令，解得：，令，解得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，
则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以.
（2）由(1)知：时，在上恒成立，即，
所以当时，，即，又当时，，
所以，所以要证，只需证，即证，令，则有，又，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减，，
所以当时，.
6．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，证明恒成立.
【解析】（1），且该函数的定义域为，.
①当时，恒成立，在上单调递增，
因为，所以时不符合题意；
②当时，，显然成立；
③当时，由解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，，即，
所以，，解得.
综上所述，.
（2）证明：由题意可知，函数的定义域为，
先证明，令，
则，
由（1）可知，所以，，
设，其中，则且不恒为零，
所以，在上为增函数，故当时，，
所以，，
因为，故，故原不等式得证.
7．（2023·四川成都·统考一模）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）记．
则恒成立，即．
当，当，
在上单调递增，在上单调递减．
．解得．
实数的取值范围是；
（2）记．
在上单调递增．
令，
则，所以即在上单调递增．
由，知．
．即，
当单调递减；当单调递增．
，
由（*）式，可得．
代入式，得．
由（1）知，当时有，
故．．
由．
故，即，原不等式得证．
8．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数，．
(1)判断函数的单调性；
(2)证明：．
【解析】（1）函数在给定区间内单调递减，理由如下：
因为函数，，
所以，
设，则，
所以在区间上单调递减，
故，即，
所以函数在区间上单调递减；
（2），，
先证时，，即，
设，则，
所以在区间上单调递增，
所以，即；
再证时，，即，
设，则，
所以在上单调递增，
所以，
所以；
综上，.
9．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数（其中是自然对数底数）.
(1)求的最小值；
(2)若过点可作曲线的两条切线，求证：.（参考数据：）
【解析】（1）函数定义域为，
所以在上单调递增，且，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增，.
所以.
（2）设切点为，则，
在处的切线为，
由于切线过点，所以，
而由（1），在上单调递增，不同的值对应的切线斜率不同
设，所以过点可作曲线的两条切线当且仅当关于的方程有两个实根.
，
①当时，在上单调递减，至多有一个实根，不合题意；
②当时，
当时，单调递增；
当时，单调递减.
而时，时，，
所以当且仅当时，有两个实根，
即当且仅当时，过点可作曲线的两条切线.
只需证时，.
设，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，即.（*）
设，只需证.
1）当时，由，
.
设，则
，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减.
而，
所以，则.
2）当时，，
设，则，
，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，即，
所以在上单调递增，.
综上得：原不等式成立.
10．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：．
【解析】（1），
①当时，，在上单调递减；
②当时，令，得，
当时，；当时，.
③当时，令，得，
当时，；当时，.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）,即为，即，
令，可得，即证明.
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以，即.
所以.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)判断0是否为的极小值点，并说明理由；
(2)证明：.
【解析】（1）0是的极小值点，理由如下：
定义域为，
，其中，
当时，，故，
当时，，故，
故在上单调递减，在上单调递增，
故0是的极小值点；
（2）等价于，
即，
令，
则，
当时，，所以在上单调递增，
又，
故当时，，当时，，
则恒成立，
故.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）在上单调递增，所以恒成立，
令恒成立，
当时，恒成立.
当时，所以h（x）在上单调递增，
所以时，，故不符合题意.
当时，令，解得，
当时，单调递增；
当时，，单调递减，
所以
解得.
综上，的取值范围是.
（2）证明：当时，，
要证，即证，
只需证，
即证
令，令，
当时，，当时，，
所以
，
故存在使得
所以，
即在时递增，在时递减.
令，
则二次函数关于直线对称，函数图象开口向下，且，
故当时，，又
∴，
又，所以函数在上存在唯一零点，
使得.
,当且仅当时等号成立.
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
即，当且仅当时等号成立
因为取等号的条件不一致，故.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若是的零点，求证：
【解析】（1）令，变形得，
令，问题转化成与有交点，
令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
故，
又当时，，
，
故实数a的取值范围为.
（2）由题意可得，，得，
要证，即证，
即证，
先证，只需证，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增，故，，左边证毕，
再证，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，故；
令，，
对于函数，，
则，原函数单调递减，
故
令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，故
，，即，故，右边证毕，
则得证.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，证明：；
【解析】（1）易得，函数的定义域为，
当时，，
令，解得，
由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值；
（2）当时，，
要证明，即证，即，
设，则，
令得，，当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以为极大值点，也为最大值点，所以，
即，故.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若最小值为0，求的值；
(2)，若，证明.
【解析】（1）由得，且
当时，单调递减，当时，单调递增.
所以的极小值也是最小值为.
（2）证明：由得.
设，则，当时，，
单调递减，当时，单调递增.
当时，，即在区间单调递增.
若，则当且仅当时，.
由（1）知，.
，即.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)若，求证：．
【解析】（1）因为函数的定义域为，
所以，设，
则
①当时，因为，所以，所以函数在内没有极值点，
②当时，因为，所以，函数在单调递增，
即在单调递增，又，，所以存在，使得，且当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以为函数的极小值点，函数没有极大值点，
③当时，，则时，；时，.
则是函数在上唯一的极小值点，且的极小值为，
当，即时，，所以，函数在上单调递增，函数在上没有极值点，
当，即时，，所以，函数在上单调递增，函数在上没有极值点，
当，即时，因为，，，设，，
设，则，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减，，即，所以存在，使得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，，
综上所述，当时，函数有一个极值点，当时，函数没有极值点，当时，函数有两个极值点；
（2）要证明，只需证明，
只需证明，只需证明，
令，，
又，则时，，函数在上单调递增；时，，函数在上单调递减；.
所以时，取得最大值，最大值为，
由可得，
则时，，函数在上单调递减；时，，函数在上单调递增；.
则时，取得最小值，且最小值为，
又，所以，即
所以时，.
17．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数，若，其中为偶函数，为奇函数.
(1)当时，求出函数的表达式并讨论函数的单调性；
(2)设是的导数. 当，时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证：.
【解析】（1）当时，，
由题，其中为偶函数，为奇函数，
则，
所以，
所以，
所以，
令，则，
当且仅当取等，
所以在上递增，即在上递增，
注意到，
则时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）由的定义域是，，
设，则，
令得，，
因为在上递增，
所以当时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
又，
于是，即，
所以在上递增，
注意到，
所以在上，在上，
所以函数，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，，
，
因此，
又，
所以，
即
18．（2023·上海·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时，.
【解析】（1）由题意知，.
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，，即恒成立．
令（），则，时，，时，，
g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，
所以，即.
故实数a的取值范围是；.
（2）证明：若a＝e，要证，
只需证，即.
令（x>0），则，
易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则，
所以.
再令（），则，时，，时，，
易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
则，所以.
因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以，故原不等式成立．