新高考数学二轮复习专题巩固练习专题02 不等式与复数（练习）（2份，原卷版+解析版）

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1．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知ab=14且a,b∈0,1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．b+49a>23
C．1a+1b≥4D．a2+b≥34
【答案】ACD
【解析】对于A，因为a2+b2≥2ab=12，当且仅当a=b=12时等号成立，故A正确；
对于B，b+49a≥249ab=23，当且仅当b=13,a=34时等号成立，故B错误；
对于C，1a+1b≥21ab=4，当且仅当a=b=12时等号成立，故C正确；
对于D，a2+b=a2+14a，设fa=a2+14a，则f'a=8a3−14a2，
当01，y>0，且1x−1+1y=1，则4x+y的最小值为（ ）
A．13B．15+552C．14D．9+65
【答案】A
【解析】∵x>1，∴x−1>0，又y>0，且1x−1+1y=1，
∴4x+y=4x−1+y+4=4x−1+y1x−1+1y+4=9+yx−1+4x−1y
≥9+2yx−1⋅4x−1y=13，
当且仅当1x−1+1y=1yx−1=4x−1y，解得x=52y=3时等号成立，故4x+y的最小值为13.
故选：A
题型二：和式与积式
4．（多选题）已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则（ ）
A．2a+b的最小值为8B．1a+1+1b+2的最小值为22
C．ab的最大值为22D．b+19−a的最小值为62−110
【答案】AD
【解析】对于选项A，由16=ab+2a+b，得b=16−2aa+1=18a+1−2，
所以2a+b=2a+18a+1−2=2a+1+18a+1−4≥22a+1⋅18a+1−4=8，
当且仅当2a+1=18a+1，即a=2,b=4时取等号，所以选项A正确，
对于选项B，因为ab+2a+b=16，所以1a+1+1b+2≥21a+1⋅1b+2=21ab+2a+b+2=23，
当且仅当a+1=b+2时取等号，此时1a+1+1b+2取得最小值23，所以选项B错误，
对于选项C，因为16=ab+2a+b≥ab+22ab，
当且仅当2a=b，即a=2,b=4时取等号，
又ab>0，解不等式得00，b=a+6a−2>0，所以a>2，
所以a+b=a+a+6a−2=a−2+8a−2+3≥2a−2⋅8a−2+3=42+3，
当且仅当a−2=8a−2，即a=2+22，b=1+22时等号成立，
则a+b的最小值为3+42，故D正确．
故选：ACD．
6．（多选题）（2024·广东肇庆·一模）设正实数m，n满足m>n，且m+2n=4，则下列说法正确的是（ ）
A．m−4+2n−4=8B．n+2m+20，S=2xy4x2+y2+xyx2+y2，则（ ）
A．S的最大值是910B．S的最大值是223
C．S的最大值是32D．S的最大值是924
【答案】B
【解析】∵S=2xy4x2+y2+xyx2+y2=2xyx2+y2+xy4x2+y24x2+y2x2+y2=6x3y+3xy34x4+5x2y2+y4=32xy+yx2xy2+yx2+5=32xy+yx2xy+yx2+1，
令t=2xy+yx，
∵x>0，y>0，则t=2xy+yx≥22xy×yx=22，当且仅当2xy=yx，即y=2x时等号成立，
故t∈22,+∞，可得S=32xy+yx2xy+yx2+1=3tt2+1=3t+1t，
又∵ft=t+1t在22,+∞上单调递增，则ft≥f22=22+122=924，
∴S=3t+1t≤3924=223，即S的最大值是223.
故选：B.
题型五：复数的四则运算
13．（2024·浙江·二模）已知z2−z=z4z，则z=（ ）
A．0B．22C．1D．62
【答案】C
【解析】因为z2−z=z4z，所以z−1=z2,
所以z2−z+1=0,
所以z=1±1−42=1±3i2,
所以z=1±3i2=12+±322=1.
故选：C.
14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程x2−2x+2=0的两个根分别为x1，x2，则x1+2x2=（ ）
A．1B．5C．7D．10
【答案】D
【解析】根据题意可得x−12=−1=i2，
∴x−1=±i，即x=1±i，
当x1=1−i，x2=1+i时，x1+2x2=3+i，
∴x1+2x2=12+32=10，
当x1=1+i，x2=1−i时，x1+2x2=3−i，
∴x1+2x2=12+32=10，
综上，x1+2x2=10.
故选：D.
15．在复平面内，复数z1,z2对应的点关于直线y=x对称，若z1=2+i，则z2+1−3i=（ ）
A．29B．5C．5D．1
【答案】C
【解析】因为z1=2+i，所以其对应点为2,1，
2,1关于直线y=x对称的点为1,2，则z2=1+2i，
所以z2+1−3i=1+2i+1−3i=2−i=22+12=5，
故选：C．
题型六：复数的几何意义
16．（2024·湖北·模拟预测）若复数z满足1−zz−i=1+i,i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】因为1−zz−i=1+i，所以1−z=z−i⋅1+i，即2+iz=i，
所以z=i2+i=i2−i2+i2−i=15+25i，
所以z对应的点的坐标为15,25，位于第一象限．
故选：A
17．复数z满足z−5=z−1=z−i，则z=（ ）
A．10B．13C．32D．5
【答案】C
【解析】由z−5=z−1得复数z对应的点到点5,0和1,0距离相等，所以复数z对应的点在直线x=3上；
由z−1=z−i得复数z对应的点到点1,0和0,1距离相等，所以复数z对应的点在直线y=x上；
因为直线x=3和直线y=x的交点为3,3，所以z=3+3i，所以z=32+32=32.
故选：C.
18．（2024·陕西榆林·模拟预测）若复数z满足z1−i=a−ia∈R，则复数z在复平面内对应的点不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】z=a−i1−i=a+1+a−1i2，
若a+1>0a−1>0，则a>1，∴复数z可能在第一象限；
若a+10，无解，即复数z不可能在第二象限，故应选B；
若a+10，则fb单调递增，
所以fb≥f1=3，
所以1b+ba的最小值为32，当且仅当b=1、a=2时取等号，故D正确.
故选：BCD
15．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数x，y满足x+2y=1，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为18B．x2+4y2的最小值为12
C．x+2y的最大值为23D．1x+3y的最小值为7+26
【答案】ABD
【解析】对于A：∵x>0，y>0，x+2y=1.
∴x⋅2y≤x+2y22=122=14，xy≤18.
当且仅当x=2yx+2y=1，即x=12，y=14，取“=”，∴A正确；
对于B：x2+4y2=(x+2y)2−4xy=1−4xy，由（1）知xy≤18，∴−4xy≥−12.
∴x2+4y2=1−4xy≥1−12=12.∴B正确；
对于C：x+2y2=x+2y+2x⋅2y=1+2x⋅2y≤1+x+2y=1+1=2.
∴x+2y≤2，∴C错误；
对于D：1x+3yx+2y=1+2yx+3xy+6=7+2yx+3xy≥7+26，
当且仅当2yx=3xy，即2y2=3x2x+2y=1，取“=”，∴D正确.
故选：ABD.
16．（2024·上海普陀·模拟预测）函数y=lga(x+2)−1(a>0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，则1m+1n的最小值为 .
【答案】2
【解析】因为lga1=0，所以函数y=lga(x+2)−1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(−1,−1)，
即A(−1,−1)，
又点A在直线mx+ny+2=0上，故m+n=2，
又m>0,n>0，所以1m+1n=121m+1n(m+n)=122+nm+mn≥122+2nm×mn=2，
当且仅当nm=mn即m=n=1时等号成立，
所以1m+1n的最小值为2.
故答案为：2.
17．（2024·新疆喀什·三模）已知函数fx=alnxx和gx=bx−x（b>0）有相同的最大值．则a+eb的最小值为 ．
【答案】e
【解析】fx=alnxx，f'x=a(1−lnx)x2(x∈(0,+∞))，
当a=0时，fx=0，最大值为0，
又gx=b(x−x)=b−x2+x，所以当x=12时，g(x)max=b4，
由b4=0得b=0，与题设矛盾；
当a≠0时，令f'x=0得，lnx=1，即x=e，
当x∈(0,e)时，1−lnx>0，当x∈(e,+∞)时，1−lnx0时，
当x∈(0,e)时，f'x>0，当x∈(e,+∞)时，f'x0，
∴a+eb=eb4+eb≥2eb4·eb=e，当且仅当eb4=eb，即b=2时取等号.
即a+eb的最小值为e.
故答案为： e.
18．（2024·吉林长春·一模）若(3+i)99=x+yi，则x+2y= .
【答案】2100
【解析】由于32+12i3=i，
则(3+i)99=232+12i99 =29932+12i333=299i33 =299i32⋅i=299i
所以x=0，y=299，即x+2y=2100.
故答案为：2100.
19．（2024·浙江杭州·一模）已知复数z1,z2的实部和虚部都不为0，满足①z1z2=2；②z1z2=2.则z1= ，z2= .（写出满足条件的一组z1和z2）
【答案】 z1=2+2i z2=22+22i
【解析】设z1=a+bi,z2=c+diabcd≠0,a,b,c,d∈R，
则z1z2=a+bic+di=ac+db+bc−adic2+d2，
z1z2=a+bic+di=ac−bd+ad+bci，
由z1z2=ac+dbc2+d22+bc−adc2+d22=ac+db2+bc−ad2c2+d2=2z1z2=ac−bd2+ad+bc2=2，
整理得a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=4c2+d22a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=4，即a2+b2=4c2+d2a2+b2c2+d2=4，
所以c2+d2=1a2+b2=4，
可取a=b=2,c=d=22，
所以z1=2+2i,z2=22+22i.
故答案为：z1=2+2i;z2=22+22i.（答案不唯一，只要满足a2+b2=4,c2+d2=1,abcd≠0即可）
20．（2024·湖北荆州·三模）棣莫弗定理：若n为正整数，则rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθ，其中i为虚数单位，已知复数z=2024985sinπ6+icsπ6， 则z2024= ，z2024的实部为 ．
【答案】 985 −9852/−492.5
【解析】因为复数z=2024985(sinπ6+icsπ6)=2024985(csπ3+isinπ3)，
所以由棣莫弗定理可得，
z2024=[2024985(csπ3+isinπ3)]2024=985(cs2024π3+isin2024π3)
=985[cs(674π+2π3)+isin(674π+2π3)]=985(−12+32i)，
所以|z2024|=9852[(32)2+(−12)2]=985.
所以(z2024)=985(−12−32i)，
所以(z2024)的实部为−9852.
故答案为：①985；②−9852.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc183787892" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc183787892 \h 2
\l "_Tc183787893" 题型一：基本不等式二元式 PAGEREF _Tc183787893 \h 2
\l "_Tc183787894" 题型二：和式与积式 PAGEREF _Tc183787894 \h 3
\l "_Tc183787895" 题型三：柯西不等式二元式 PAGEREF _Tc183787895 \h 5
\l "_Tc183787896" 题型四：齐次化与不等式最值 PAGEREF _Tc183787896 \h 6
\l "_Tc183787897" 题型五：复数的四则运算 PAGEREF _Tc183787897 \h 8
\l "_Tc183787898" 题型六：复数的几何意义 PAGEREF _Tc183787898 \h 9
\l "_Tc183787899" 重难点突破：不等式与复数新定义问题 PAGEREF _Tc183787899 \h 10
\l "_Tc183787900" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc183787900 \h 12