新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.16 导数中的不等式的证明（2份，原卷版+解析版）

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1．高考对本部分的考查一般有三个层次：
(1)主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；
(2)导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；
(3)综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．
2．利用导数证明不等式问题，方法如下：
(1)直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
1．（2023·山东潍坊·统考一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
2．（2023·山东菏泽·统考一模）已知函数.
(1)若函数在R上单调递增，求的取值范围；
(2)若，且有两个零点，证明：.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的极值点个数；
(2)若有两个极值点,，证明：．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数的极大值点是，且函数的一个零点大于1，求证：.
5．（2023·四川凉山·二模）已知函数．
(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．
6．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数.
(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；
(2)若函数，是的导函数，证明：存在唯一的零点，且.
7．（2023·四川巴中·统考一模）设函数.
(1)当时，设，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，证明.
8．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若是的两个零点，且，证明：.
9．（2023·四川凉山·二模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．
10．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若有3个零点，，，其中．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
11．（2023·广东广州·统考一模）已知，函数.
(1)若，证明：当时，：
(2)若函数存在极小值点，证明：
12．（2023·吉林长春·校联考一模）已知函数，为函数的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若为的极值点，证明：.
13．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有2个不同的极值点，，求证：.
15．（2023·辽宁·校联考一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，P，Q是曲线上的不同两点，直线的斜率为，曲线在点处P，Q切线的斜率分别为，，证明：.
16．（2023·河南洛阳·联考一模）已知函数．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求证：．
17．（2023·河南·联考一模）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，求证：.
18．（2023·山西晋中·统考二模）已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．
19．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若，求证：．
20．（2023·重庆·统考二模）已知函数，且．
(1)求的极值点；
(2)设，若，分别是的零点和极值点，证明：．
21．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个零点，，，求证：.
22．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数，．
(1)对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
(2)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，…，求证：．
23．（2023·湖南·联考模拟预测）已知.
(1)判断函数的单调性；
(2)若是函数的两个极值点，且，求证：.
24．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)若在上的最大值为，求实数的值.
(2)若存在两个零点，.
①求实数的取值范围；
②证明：.
25．（2023·全国·模拟预测）已知函数，
(1)若a＝1，b＝2，试分析和的单调性与极值；
(2)当a＝b＝1时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）
求证：①；
②.