新高考数学二轮复习专项训练01 恒成立问题与能成立问题（2份，原卷版+解析版）

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一、恒成立问题
(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a0有唯一整数解，
，当时，，所以在0,+∞单调递增，
而，所以，与题意矛盾；
当时，由可得或（舍去），
当时，，时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以时，取最大值为，
由题意可知，解得，
因为，所以当即时，
由gx>0有唯一整数解知，解得，
若，由在单调递增知，矛盾
所以，由在单调递减可知，
所以符合题意；
当时，，，
由在单调递减可知，，不符合题意；
综上所述，a的取值范围为.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）
A．B．4C．D．8
2．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在内有解，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2025·广东·一模）已知定义在上的函数的图象连续不间断，当，且当x>0时，，则下列说法正确的是（）
A．
B．在上单调递增，在上单调递减
C．若，则
D．若是在内的两个零点，且，则
5．（2023·全国·模拟预测）已知，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．
C．恒成立D．的最大值为
6．（2023·重庆·模拟预测）已知，当时，存在b，，使得成立，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
7．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
8．（2022高三·全国·专题练习）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为： ．
9．（22-23高三上·全国·阶段练习）若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
(1)证明：存在源数列；
(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.
11．（2023·浙江·模拟预测）已知为正实数，函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)求证：（）.
12．（2023·北京海淀·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若存在，使得，求a的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得，再利用切线放缩化简求出的取值范围.
【详解】因为，由，得.令
令，则在上恒成立，
故函数在上单调递增，所以即，
由，得，所以.
当且仅当时，取“=”，
此时，由与图象可知使，此时.
所以，即有最大值为4.
故选：B.
2．A
【分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.
【详解】令，即，
当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，
则当时，，即，不满足题意；
当时，令，则，
令，则，因为单调递增，
所以当时，f'x