新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第08章专题8.4 椭圆（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第08章专题8.4 椭圆（2份，原卷版+解析版），共8页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154052067" 题型一： 椭圆的定义及应用 PAGEREF _Tc154052067 \h 3
\l "_Tc154052068" 题型二： 椭圆中的最值问题 PAGEREF _Tc154052068 \h 6
\l "_Tc154052069" 题型三： 椭圆标准方程 PAGEREF _Tc154052069 \h 7
\l "_Tc154052070" 题型四： 椭圆的焦点三角形 PAGEREF _Tc154052070 \h 9
\l "_Tc154052071" 题型五： 椭圆的几何性质 PAGEREF _Tc154052071 \h 12
\l "_Tc154052072" 题型六： 位置关系的判断 PAGEREF _Tc154052072 \h 17
\l "_Tc154052073" 题型七： 弦长问题 PAGEREF _Tc154052073 \h 20
\l "_Tc154052074" 题型八： 面积问题 PAGEREF _Tc154052074 \h 23
知识点总结
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
椭圆的标准方程和简单几何性质
在用椭圆定义时，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在.
【常用结论与知识拓展】
(1)椭圆中的最值：P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则|OP|∈[b，a]；|PF1|∈[a－c，a＋c]；|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2.
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①焦点三角形的周长为2(a＋c)；
②4c2＝req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－2r1r2cs θ；
③当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
④S＝eq \f(1,2)r1r2sin θ＝b2taneq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，为eq \f(2b2,a).
(4)AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
②直线AB的斜率k＝－eq \f(b2x0,a2y0)；
③k·kOM＝－eq \f(b2,a2).
例题精讲
椭圆的定义及应用
【要点讲解】根据题目所给条件，抓住动点所满足的条件，根据椭圆定义得出椭圆的标准方程．在得到的标准方程中，要注意是否需要“去除”某些不满足题设条件的点．
若的两个顶点坐标、，的周长为18，则顶点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：、，，
又的周长为18，．
顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆，
则，，，
顶点的轨迹方程为．
故选：．
已知圆，点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，则点的轨迹方程为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，联结，由于在的中垂线上，有，
则．
是的半径，．
所以到、的距离之和为定值，轨迹为椭圆
椭圆的焦点是、，中心是中点
由于，，
所以，．
则．
则椭圆的方程是：．
即的轨迹方程为．
故选：．
已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，点是三角形的重心，则点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：设，，设为，
又易知，，，，
根据三角形的重心坐标公式可得：
，，，
又在椭圆上，
，，
即，
的轨迹方程为，
故选：．
已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为
A．B．C．D．
【解答】解：设点，，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为，
联立，
消去得，
则，
即，
两切线垂直故其斜率之积为，则由根与系数关系知，即．
当切线斜率不存在或为0时，此时点坐标为，，，，满足方程，
故所求轨迹方程为．
故选：．
椭圆中的最值问题
设椭圆的左焦点为，下顶点为，点在上，则的最大值为
A．1B．C．3D．
【解答】解：根据题意可得，设椭圆的右焦点为，
则，又点在上，
，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，
故的最大值为3．
故选：．
椭圆上任一点到点的距离的最小值为
A．B．C．2D．
【解答】解：设点的坐标为，有，
．
故选：．
已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为
A．3B．C．D．
【解答】解：由椭圆的方程可得，焦点，
因为在椭圆内部，设右焦点，则，
则，
当且仅当，，三点共线时取等号，
故选：．
椭圆标准方程
【要点讲解】求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程
为
A．B．C．D．
【解答】解：两个焦点的坐标分别是，，
椭圆的焦点在横轴上，并且，
由椭圆的定义可得：，即，
由，，的关系解得，
椭圆方程是．
故选：．
椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，
则，即，，
故，
所以椭圆的标准方程是．
故选：．
焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为
A．B．C．D．
【解答】解：焦距为，，
长轴长与短轴长之比为，
，即，
且，联立解得，，
焦点在轴上，所以椭圆方程为：．
故选：．
“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由，，可得，；
由方程表示的曲线为椭圆可得，，．
故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件．
故选：．
“”是方程“表示椭圆”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：方程表示椭圆，解得，且．
“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：．
“”是“方程表示椭圆”的
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：可得，
方程整理可得：；
若，则方程表示单位圆．
若方程：表示椭圆，则且．
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：．
椭圆的焦点三角形
【要点讲解】椭圆的焦点三角形是描述椭圆上一点到与两个焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体. 因此具有“双重特征”，即可以利用椭圆的定义和解三角形知识即可解决相关问题，是高考命题热点，题材内容丰富多变，具备良好的考查背景．
如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点．若，，，则椭圆的方程为
A．B．C．D．
【解答】解：设，则，又因，
又，可得，解得，可得，，
椭圆方程为：，
故选：．
已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则△的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：由椭圆，可得，，
设，，
由题意可得：，，
解得，
△的面积为．
故选：．
已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆，，为两个焦点，，
为原点，为椭圆上一点，，
设，，不妨，
可得，，即，可得，，
，
可得
．
可得．
故选：．
已知椭圆的左、右焦点分别为，．若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为
A．9B．12C．18D．24
【解答】解：因为椭圆，
所以，解得，
又过点的直线交椭圆于，两点，
所以的周长为
．
故选：．
已知，分别为椭圆的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为 ．
【解答】解：为的中点，且，
，，
，，
，
，
，
的周长为28，
，，
由已知可得，，，，，
，，
，，，
，短轴长为．
故答案为：．
椭圆的几何性质
【要点讲解】求椭圆的离心率一般策略：(1)直接利用公式e＝eq \f(c,a)求解；(2)通过构造关于a，c的“齐次方程”来解决，构造关于eq \f(c,a)的方程求解；(3)值得注意的是，只要再确定a，b，c的一个关系，就可以求离心率，椭圆e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(c,\r(b2＋c2)).求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式后进一步求解．
已知椭圆的左右焦点为，，过的直线与椭圆交于两点，为的中点，，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：不妨设，，
此时，
因为，
所以，
因为，
所以为锐角，
可得，
在△中，由余弦定理得，
所以，
则△为直角三角形，
此时，
而△的周长，
解得，
所以，
则，
解得．
故选：．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，，是椭圆上关于原点对称的两个点，若，且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
由椭圆的对称性可知，四边形为长方形，
则，，
由，且，
得，，
，解得．
故选：．
如图，，是椭圆的左、右顶点，是上不同于，的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得在椭圆上，则设，
，，
①，
又是的直径，则，即，
②，
由①②得，
又，则．
故选：．
已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：，
则，
故，即，
又，
综上所述，椭圆的离心率的取值范围是．
故选：．
已知椭圆关于轴、轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：设椭圆的方程为，
因为不在椭圆的外部，
所以，因为，
所以，化简得：，
同除以得：，结合，
解得：，
故．
故选：．
已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆上的点（不在坐标轴上），的平分线交于，且，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：设椭圆的焦距为，则，即，
因为平分，且，
所以，
由椭圆的定义知，，
所以，，
因为，
所以，解得，即，
所以离心率，．
故选：．
已知为坐标原点，，，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为
A．B．1C．D．
【解答】解：令椭圆中，则，
所以．
因为，所以，则，
即，
所以．
故选：．
位置关系的判断
【要点讲解】直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定. 通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定.
若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是 ，， ．
【解答】解：椭圆，则，且，
直线恒过点，要使直线与椭圆恒有两个公共点，
则必在椭圆内部，，则，
综上可知：的取值范围：，，．
故答案为：，，．
直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 ．
【解答】解：如图所示，曲线是焦点在轴的上半个椭圆，长半轴的长为2，短半轴的长为1，
是一个斜率为1的直线，
要使两图形有两个交点，直线经过时，直线与半椭圆有两个交点，可得；
直线与椭圆相切，可得，消去，可得，△，解得，舍去，
所以的取值范围是．
故答案为：．
如图，已知直线和椭圆．为何值时，直线与椭圆
（1）有两个公共点？
（2）有且只有一个公共点？
（3）没有公共点？
【解答】解：由方程组，
消去，得，①
方程①的根的判别式△．
（1）由△，得，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．
（2）由△，得或，此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点．
（3）由△，得或，此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．
椭圆与直线相交于，两点，过的中点与坐标原点的直线的斜率为2，则
A．B．C．D．2
【解答】解：设，，，，，，
，
由的中点为可得①，②，
由．在椭圆上，可得，，
两式相减可得③，
把①②代入③可得，
整理可得．
故选：．
弦长问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(Δ),|a|)(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式Δ>0这一前提.
若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为
A．B．C．D．
【解答】解：设，，，，
则，
所以，
整理得，
因为为弦的中点，
所以，，
所以，
所以弦所在直线的方程为，即．
故选：．
在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，设以点为中点弦的两端点为，，，，
则有，
两式相减得可得：，
又由点为的中点，则有，，
则有．
即以点为中点的弦所在直线斜率为；
直线方程为：，即．
故选：．
已知椭圆，点是椭圆的弦的中点．
（1）求直线的方程；
（2）求弦的长度．
【解答】解：（1）因为是椭圆弦的中点，
不妨设，，，，
此时，，
因为，两点都在椭圆，
所以，
两式相减得，
即，
因为，
对等式两边同时除以，
可得，
即，
则直线的方程为，
即；
（2）联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
又△，
则．
椭圆左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点，倾斜角为直线与椭圆交于，两点，求．
【解答】（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为：；
又因为点 在椭圆上，
可得，解得，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）过点，倾斜角为直线的方程为：，即，
设，，，，
联立椭圆的方程，整理可得，
可得，，
代入直线的方程可得，，
即，，，
所以弦长．
面积问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(Δ),|a|)(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式Δ>0这一前提.
已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点，在椭圆上．
（1）是上一动点，求的范围；
（2）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求△的内切圆面积的最大值．
【解答】解：（1）由题间知，，
将，代入，解得，椭圆的方程为：，
设点，则，，，
又，，的取值范围是，．
（2）依题意可设直线的方程为，，，，，
联立，得，
，，
，
又，
当且仅当时等号成立，，
设△的内切圆半径为，则，
△的内切圆面积的最大值为．
已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，，且是一个常数），其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的长轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左焦点为，过点作直线交圆于点，，求面积的最大值．
【解答】解：（1）不妨令，
由阿波罗尼斯圆定义可得，①
因为椭圆的长轴长为，
所以，②
联立①②，可得，
所以，
则椭圆的标准方程为；
（2）因为，
易知直线的斜率不为0，
不妨设直线的方程为，，，，，
联立，
消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为△，
解得，
易知，
因为，同号，
所以
，
不妨令，，
此时
，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值3．
已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点，且满足，求面积的最大值．
【解答】解：（1）因为经过点，且离心率为，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
（2）不妨设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理的，
易知，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
即，
此时，
整理得，
解得或（舍，
当时，满足△，
所以直线恒过定点，
因为
，
不妨令，，
此时，
当时，的面积取得最大值，最大值为．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
简单几何性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0,1)，e越接近1，椭圆越扁平