(新高考)高考数学一轮复习课件第8章§8.5《椭圆及其性质》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课件第8章§8.5《椭圆及其性质》(含解析)，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，落实主干知识，x轴和y轴，a2＝b2＋c2，探究核心题型，椭圆的定义及其应用，思维升华，椭圆的标准方程，命题点2待定系数法，命题点1离心率等内容，欢迎下载使用。

1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2叫做椭圆的 ，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的 .
2.椭圆的简单几何性质
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
(1)当P为短轴端点时，θ最大， 最大.
椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　　)
A.4 B.5 C.8 D.10
依椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.
TANJIUHEXINTIXING
例1　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆.
∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cs 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
延伸探究　若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积.
∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴ ＝4.
1.△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为
由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.
又A，B，C三点不能共线，
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cs 45°＝|AF1|2＋8－4|AF1|，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2＋8－4|AF1|，
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
跟踪训练1　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是
设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切.所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆.则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，
设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|－|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|－|BF1|－|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.
命题点1　定义法例2　已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为
由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点.
∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
如图，不妨设A(0，b)，
设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n).因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，
如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，
所以c＝1，b2＝3，
椭圆的右焦点为(2,0)，
根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为
在Rt△AF1F2中，
由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
F(c，0)，由点到直线距离公式，
则2c－b＝0，b＝2c.
又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，
若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，
求椭圆离心率或其范围的方法
(3)构造a，c的齐次式.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)例5　(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为
设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，
所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
设P点的坐标为(x0，y0)，
因为F(－1,0)，A(2,0)，
1.(多选)嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，则下列选项中正确的有A.焦距长约为300公里B.长轴长约为3 988公里C.两焦点坐标约为(±150,0)
设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.
a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138，所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988，c＝2 138－1 988＝150,2c＝300，
可得结论A，D正确，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误.
点O(0,0).设P(x，y)(－2≤x≤2).
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；(2)利用函数，尤其是二次函数；(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
跟踪训练3　(1)(2022·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为
∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
KESHIJINGLIAN
1.已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为
由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，
设F1为左焦点，则由椭圆方程得F1(－1,0)，F2(1,0)，
又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.
由题意可知2c＝2，则c＝1，因为点Q在椭圆上，所以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|，又－1≤－|QF2|＋|QP|≤1，所以A正确；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以b＞1,2b＞2，所以B错误；
即b2＋a2－a2b2＜0，又c＝1，b2＝a2－c2，所以(a2－1)＋a2－a2(a2－1)＜0，化简可得a4－3a2＋1＞0(a>1)，
而P(1,1)，F1(－1,0)，所以Q(－3，－1)，|QF1|＋|QF2|
7.如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为_____.
由图可得，椭圆的短轴长2b＝22⇒b＝11，
根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.
9.已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(－3,0).(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积.
易知|yP|＝4，又c＝3，
由题意得，A(－a，0)，EF2：x＋y＝c，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，所以2c2＋ac－a2＝0，
所以2e2＋e－1＝0，
所以|PF1||PF2|＝4，
所以a2－c2＝3，②联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误；当P在椭圆上、下顶点时，
所以－16y′2＝9(x′2－16)，
12.(多选)2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是A.飞船向径的取值范围是[a－c，a＋c]B.飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其 在右半椭圆弧的运行时间C.飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D.飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确；
根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确.
由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
又|F1F2|＝2c，
由已知得2b＝2，故b＝1.
又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，
∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，
16.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；
在△F1PF2中，由余弦定理得，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，所以3a2≥4(a2－c2)，