新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第5节　椭圆（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第8章第5节　椭圆（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了椭圆的标准方程和几何性质，已知椭圆C，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
(2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
①若a＞c，则集合P为椭圆；
②若a＝c，则集合P为线段；
③若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
[常用结论与微点提醒]
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ，
(1)△PF1F2周长为2a＋2c；
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c；
(3)S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S△F1PF2取最大值，最大值为bc.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq \s\up12(2)＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
2.(选修一P115习题3.1T6改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
3.已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为(－eq \r(3)，0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________________.
4.短轴长为2eq \r(5)，离心率e＝eq \f(2,3)的椭圆的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________.
考点一 椭圆的定义及应用
例1 (1)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.双曲线的一支
(2)(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.
训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(x≠0)B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(x≠0)D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1(y≠0)
(2)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A.1B.2C.4D.5
(3)(2024·郑州模拟)若F为椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为________.
考点二 椭圆的标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)；
(3)经过点P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)两点；
(4)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq \r(3)).
训练2 (1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(BA2,\s\up6(→))＝－1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1D.eq \f(x2,18)＋y2＝1
(2)(2024·重庆诊断)经过椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为______________.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 离心率
例3 (1)(2024·山东名校联考)已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(2,3)C.eq \f(\r(6),3)D.eq \f(\r(3),2)
(2)(2024·温州质检)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆C的离心率为________.
角度2 与椭圆有关的最值、范围问题
例4 (1)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( )
A.2B.3C.6D.8
(2)已知F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________.
训练3 (1)(2024·长沙调研)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2.若AB∥PF1，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),5)B.eq \f(1,2)C.eq \f(\r(3),3)D.eq \f(\r(2),2)
(2)设点M是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1上的动点，点N是圆E：(x－1)2＋y2＝1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是________.
【A级 基础巩固】
1.椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A.6B.3C.4D.2
2.“4＜k＜10”是“方程eq \f(x2,k－4)＋eq \f(y2,10－k)＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝eq \r(3)e1，则a＝( )
A.eq \f(2\r(3),3)B.eq \r(2)C.eq \r(3)D.eq \r(6)
4.(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A.eq \f(5,2)B.eq \r(6)C.eq \r(5)D.2
5.(2024·苏州四市统考)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜2)的左焦点为F，M是C上的动点，点N(0，eq \r(3))，若|MN|＋|MF|的最大值为6，则C的离心率为（ ）
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
6.(多选)(2024·石家庄调研)如图所示，用一个与圆柱底面成θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq \f(a2,c)上存在一点P满足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________.
11.如图所示，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，求椭圆的方程.
12.已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆M：(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
【B级 能力提升】
13.(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2＝eq \f(3,5)，则|OP|＝( )
A.eq \f(13,5)B.eq \f(\r(30),2)C.eq \f(14,5)D.eq \f(\r(35),2)
14.已知椭圆A：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于抛物线y2＝16x的焦点到准线的距离，椭圆A的离心率是方程2x2－3eq \r(3)x＋3＝0的一个实数根.
(1)求椭圆A的方程；
(2)若F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的一点，求eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))的取值范围.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2