新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第02章重难点突破02 函数性质综合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第02章重难点突破02 函数性质综合（2份，原卷版+解析版），共8页。
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．
函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
一．选择题（共16小题）
1．已知函数，则
A．为奇函数，且在是增函数
B．为偶函数，且在是增函数
C．为奇函数，且在是减函数
D．为偶函数，且在是减函数
【解答】解：函数的定义域为，且，所以为奇函数，
因为在是增函数，在是减函数，
所以在是增函数，
故选：．
2．设是定义在上的偶函数，且在，单调递增，则（4）的解集为
A．B．C．D．
【解答】解：由于是偶函数，且在，单调递增，
则（4），有，解得，即不等式的解集为．
故选：．
3．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则
A．（3）（4）B．（3）（4）
C．（3）（4）D．（4）（3）
【解答】解：因为对任意的，，，有，
所以在，上单调递减，又为偶函数，
所以在上单调递增，则（2）（3）（4），
又（2），所以（3）（4）．
故选：．
4．已知是定义在上的偶函数且在，上为减函数，若，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：因为是偶函数，所以，
由，由指数函数的性质知，函数 在上单调递减，
且，所以，所以，
因为在，上为减函数，所以，
即．
故选：．
5．已知函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为
A．，，B．，，
C．D．，，
【解答】解：函数为偶函数，且有（1），
，，
函数，
又在上单调递增，，
抛物线的开口向上，则的解集为．
故选：．
6．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且当，时，，若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：由为奇函数，得，即，
又由为偶函数，得，即，
于是，即，因此的周期为8，
又当，时，，则在，上单调递增，
由，得的图象关于点成中心对称，则函数在，上单调递增，
因此函数在，上单调递增，由，得的图象关于直线对称，
（3）（1），，，
，显然，即有，即，
所以，，的大小关系为．
故选：．
7．已知函数是定义在上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若，，且，，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【解答】解：设，
函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，
，，且，，即，
在，上单调递增，
又为偶函数，在，上单调递减，
不等式，可化为，即，
，
①当时，，即，无解，
②当时，，即，
解得，
综上所述，原不等式的解集为，．
故选：．
8．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调递增；
③在，上有4个零点；
④的值域是，．
其中所有正确结论的编号是
A．①②B．②③C．①③④D．①②④
【解答】解：对于①，，
故是偶函数，故①正确，
对于②，当时，，
令，，则，
因为在上单调递增，而函数在单调递增，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，故②正确；
对于③，当，时，由，
即或，
得，或，或，由①知是偶函数，
故当，时，得，或，或，
所以在，有6个零点，③错误；
对于④，当，时，，
因为，所以当时，，
当时，，
此时，又是偶函数，
故值域为，④错误；
故选：．
9．已知函数是定义在上的偶函数，若对任意的，，，且，都有成立，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【解答】解：设函数，
对任意的，，，且，都有成立，
对任意的，，，且，都有成立，
在，上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，
函数是定义在上的奇函数，
在上单调递减，
不等式，可化为，
即，
即，
在上单调递减，
，
解得，
即原不等式的解集为．
故选：．
10．已知函数是定义在上的偶函数，若，，，且，都有成立，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【解答】解：令，由题意知在，上为减函数，
又为上的偶函数，所以为上的奇函数，
又在，上为减函数，，
所以在上为减函数，
①当时，，即，
所以，所以，解得；
②当时，，即，
所以，所以，解得．所以或．
故选：．
11．已知函数，则不等式的解集为
A．，，B．
C．，，D．
【解答】解：对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，，，
又，所以为偶函数，
当时，则在上单调递增，
令，，所以，
所以在上单调递增，
则在上单调递增，从而得到在上单调递减，
则不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为，，．
故选：．
12．定义在上的偶函数满足，且在区间，上单调递增，则
A．B．
C．D．
【解答】解：因为，
所以的图象关于对称，且，
又因为为偶函数，
所以，
所以，
所以的周期为4，
所以（6）（2），
又因为在区间，上单调递增，
所以在区间，上单调递减，
又因为，
所以，
因为，，
因为，，
所以，
所以，
又因为在区间，上单调递减，
，
所以（2），
即（6），
故选：．
13．已知定义在，，上的奇函数，对任意的，，，满足，且（1），则的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解答】解：构建，则，
故在定义域内为偶函数，
任意的，，，满足，则在上单调递增，
故在上单调递减，
对于不等式，则有：
当时，可得，即，
在上单调递增，且（1）（1），
的解集为；
当时，可得，即，
在上单调递减，且（1）（1），
的解集为；
综上所述：不等式的解集为，，．
故选：．
14．设定义在上的奇函数满足，对任意，，且，都有，且（3），则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解答】解：设，且，，
由题意，
可得函数在单调性递减，
（3），可得（3），
那么不等式，即求的解集，
是上的奇函数，
，
，
当时，，
可得成立；
当时，，
可得成立；
综上可得不等式的解集为，，．
故选：．
15．已知函数是定义域为，，的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解答】解：设，则不等式等价为，
即当时，为减函数，
是奇函数，是偶函数，且（2），
作出的图象如图：，当时，，即，
当时，，即，
综上的取值范围是，，，
故选：．
16．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为
A．B．C．D．
【解答】解：，
函数关于对称，
又函数为奇函数，故关于原点中心对称，即，
，则，
函数是周期为2的函数，
令，
，
当时，，
当时，，
函数在，上为增函数，
当时，，即，
又由时，，
当时，，即，
由对称性及周期性作函数的示意图及函数的图象如下，
由图象可知，不等式在上的解集为．
故选：．
二．多选题（共3小题）
17．若定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，则
A．B．是奇函数
C．是偶函数D．在上是减函数
【解答】解：因为定义在上的函数满足：对任意的，，都有，
所以，即，正确；
令，
则，
所以，即为奇函数，正确，错误；
设，则，
当时，，
所以，
所以，即在上单调递减，正确．
故选：．
18．下列说法不正确的是
A．函数的最小值为2
B．已知，，，则
C．函数在定义域上是减函数
D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为
【解答】解：对于，，
令，则，由对勾函数的性质可知，在，上单调递增，
故，即的最小值不是2，故错误；
对于，，，，
，，，
，即（当且仅当时取等号），故正确；
对于，当时，，当时，（1），（1），
函数在定义域上不是减函数，故错误；
对于，在上为增函数，且，
，解得，
实数的取值范围为，故错误；
故选：．
19．若定义域为的函数满足为奇函数，且对任意，，，都有，则下列正确的是
A．的图像关于点对称
B．在上是增函数
C．
D．关于的不等式的解集为
【解答】解：因为定义域为的函数满足为奇函数，
所以函数关于对称，错误；
因为对任意，，，都有，
所以在，上单调递增，
根据函数的对称性可知在上单调递增，正确；
由关于对称可知，错误；
因为为奇函数且定义域为，所以（2），
由可得，正确．
故选：．
三．填空题（共13小题）
20．已知函数，则关于的不等式的解集为 ．
【解答】解：设，定义域为，且，所以为奇函数，
且在上单调递增，
所以，即为奇函数向上平移一个单位，
所以的对称中心为，
所以等价于，
即
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：．
21．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为 或 ．
【解答】解：是偶函数，
，即：，
关于对称．
当时，，
在，上单调递增，
又，
，即：，
，即：，解得：或．
故答案为：或．
22．已知是定义在，上的减函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 ， ．
【解答】解：设函数，因为的图象关于点对称，
所以的图象关于原点对称，故是定义在，上的奇函数．
因为是定义在，上的增函数，所以也是定义在，上的增函数．
由，得，
即，即，则，
解得，即不等式的解集为，．
故答案为：，．
23．已知函数为定义在上的奇函数，且对于，，，都有，且（3），则不等式的解集为 或 ．
【解答】解：因为对于，，，都有，
故令，则该函数在上单调递增，
又函数为定义在上的奇函数，故，且是偶函数，
因为（3）（3），
所以当时，即为，故此时解为，
当时，原式转换为，
故此时解为，
综上所述，原不等式的解集为或．
故答案为：或．
24．已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，，，且，，则不等式的解集为 ．
【解答】解：令，则，，，且，
根据题意，，
所以在，上单调递增，
又是偶函数，所以为上奇函数，
所以在上单调递增，
由，
得，
即，
所以，
得．
故答案为：．
25．已知函数，若，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为，
设，定义域，
，所以为奇函数，
，所以单调递增，
不等式，即为，
即，所以，
即，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
26．设函数是定义在，上的偶函数，且在，上单调递减，若（a），则实数的取值范围是 ．
【解答】解：为定义在，上的偶函数，
由（a）得，，
又在，上单调递减，
，
解得．
的取值范围为．
故答案为：．
27．已知函数，若，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：因为，定义域满足，解得，
所以
，
故，所以，
则不等式，转化为，
即，
又函数在上单调递增，在上单调递减，，，且设，
所以
，
又，因为，所以，
所以，由于函数在上单调递增，
所以，故函数在上单调递增，
所以由函数单调性的性质可得在上单调递增，
故，可得，解得，
所以实数的取值范围是，．
故答案为：，．
28．已知函数，若，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：由得：，故为奇函数，
恒成立，故在上是增函数，
所以，
所以，即，解得，
故的范围是，．
故答案为：，．
29．已知，则不等式的解集是 ， ．
【解答】解：构造函数，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．
不等式 等价于，
等价于
结合单调递增可知，
，
所以不等式 的解集是，．
故答案为，．
30．若是上的奇函数，且在上是增函数，若，那么的解集是 ，， ．
【解答】解：因为是上的奇函数，且在上是增函数，，
故在上单调递增，且（1），
则或；或；
而，即，
即或，解得或，
故不等式的解集为是：，，．
故答案为：，，．
31．已知函数，则使得成立的的取值范围是 ．
【解答】解：令，将其向右平移1个单位长度，
得，
所以是函数向右平移1个单位得到的．
而易知是偶函数，
当时，，，
时，显然，当，，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而可知在上单调递增，在上单调递减
所以时，有，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
32．已知函数，则不等式的解集为 ．
【解答】解：是上的偶函数，
在上单调递增，是减函数，
复合函数在上是减函数，且幂函数在上是减函数，
在上是减函数，
，
由得，，且（1），
（1），
（1），
，解得，且，
原不等式的解集为．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
33．已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）求关于的不等式的解集．
【解答】解：（1）函数是定义在上的奇函数，
，解得；
（2）在上单调递增；
证明：为上的增函数，且，
为上的减函数，为上的增函数，
在上单调递增；
（3）奇函数在上单调递增，
可化为，
，即，
解得：，
不等式的解集为．
34．已知函数为奇函数，且（3）（5）．
（1）求函数的解析式；
（2）若且在区间，上为增函数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由条件幂函数，在上为增函数，
得到，解得，
又因为，所以或1．
又因为是奇函数，
当时，，满足为奇函数；
当时，，不满足为奇函数；
所以．
（2）由（1）知：且在区间，上为增函数．
令，；
①当时，为增函数，只需在区间，上为增函数．
即：，解得：，所以；
②当时，为减函数，只需在区间，上为减函数．
即，解得：，此时无解；
综上可知：的取值范围为：，．
35．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
（2）已知函数在，上单调递减，在，上单调递增，令，，若对，，都有，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数是定义域上的奇函数，且，有（1），
则，解得，，函数，
显然，
即函数是定义域，，上的奇函数，则，，
，
函数在上有两个零点，等价于方程有两个不等的正根，，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）由（1）知，
而，当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，
函数图象的对称轴，因此函数在上单调递增，
则当，即时，，当，即或时，，
从而当时，，当或时，，
对，，都有，等价于，
即，解得，而，即有，
所以实数的取值范围是．