新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第02章专题01 函数的概念及其表示（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第02章专题01 函数的概念及其表示（2份，原卷版+解析版），共8页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc136409341" 题型一： 具体函数定义域 PAGEREF _Tc136409341 \h 3
\l "_Tc136409342" 题型二： 抽象函数定义域 PAGEREF _Tc136409342 \h 5
\l "_Tc136409343" 题型三： 定义域求参数 PAGEREF _Tc136409343 \h 6
\l "_Tc136409344" 题型四： 函数的值域 PAGEREF _Tc136409344 \h 8
\l "_Tc136409345" 题型五： 求函数解析式 PAGEREF _Tc136409345 \h 9
\l "_Tc136409346" 题型六： 分段函数求值 PAGEREF _Tc136409346 \h 12
\l "_Tc136409347" 题型七： 分段函数求参数 PAGEREF _Tc136409347 \h 13
\l "_Tc136409348" 题型八： 分段函数与不等式 PAGEREF _Tc136409348 \h 14
\l "_Tc136409349" 题型九： 新定义 PAGEREF _Tc136409349 \h 17
知识点总结
函数的概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素
函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域．
函数的表示法
分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．
注意
关于分段函数的3个注意点
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数；
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；
(3)各段函数的定义域不可以相交.
【常用结论与知识拓展】
1．几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
4．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))；当a0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝lgax (a>0且a≠1)的值域是R.
例题精讲
具体函数定义域
【要点讲解】1.求具体函数定义域的策略
(1)构造使解析式有意义的不等式(组)求解即可;
(2)对于实际问题,既要使函数解析式有意义,又要使实际问题有意义.
2.常见函数类型的限制条件
(1)分式型:1f(x)要满足f(x)≠0;
(2)根式型:2nf(x)(n∈N*)要满足f(x)≥0;
(3)0次幂型:[f(x)]0要满足f(x)≠0;
(4)对数型:lgaf(x)(a>0,且a≠1)要满足f(x)>0;
(5)正切型:tan (f(x))要满足f(x)≠π2+kπ,k∈Z.
函数的定义域为
A．，B．，，C．，D．，
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且．
函数的定义域为，，．
故选：．
函数的定义域为 ．
【解答】解：令，可得，解得．
故函数的定义域为．
故答案为：．
函数的定义域为 ．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．
函数的定义域为．
故答案为：．
函数的定义域为 ， ．
【解答】解：要使原函数有意义，则，即，
解得或．
函数的定义域为，．
故答案为：，．
抽象函数定义域
【要点讲解】本质:函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围.
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
若函数的定义域为，，则函数的定义域为 ， ．
【解答】解：函数的定义域为，，即，，，，
的定义域为，，
要使有意义，则，可得．
即函数的定义域为，．
故答案为：，．
已知函数的定义域为，，则函数的定义域
A．B．，，
C．，，D．
【解答】解：因为函数的定义域为，，对于函数，
则有，解得或．
因此，函数的定义域为．
故选：．
函数的定义域为，，则的定义域为
A．，B．，，C．，D．，，
【解答】解：由题意得，解得且．
故选：．
已知函数的定义域为，，则函数的定义域为
A．B．C．，D．，
【解答】解：函数的定义域为，，即，可得，
函数的定义域为，，
令，解得，
故函数的定义域为．
故选：．
定义域求参数
已知函数的定义域为，则实数的取值范围是
A．B．，
C．D．，，
【解答】解：函数的定义域为，
对任意恒成立，
当，即时，不成立；
当，即时，则，解得．
实数的取值范围是，．
故选：．
已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：由题意，，
当时，把代入，不等式成立；
当时，得，则，即；
当时，把代入，不等式成立．
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：因为函数定义域为，
所以在上恒成立，
所以△，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
已知函数的定义域为．
（1）求实数的范围；
（2）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值．
【解答】解：（1）函数的定义域为，在上恒成立，即，
，；
（2）由（1）知，，
当且仅当，时取等号，
的最小值为．
函数的值域
【要点讲解】(1)分离常数法，形如y＝eq \f(afx＋b,cfx＋d)(ac≠0)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数常用分离常数法或反解法(即用y表示f(x)，然后借助f(x)的取值范围求y的取值范围)；
(2)换元法，形如y＝ax±b±eq \r(cx±d)，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域．若函数的解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次式，可以考虑换元法，但是要注意换元后新元的取值范围．对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域；
(3)基本不等式法，先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求出值域；
(4)单调性法，先确定函数的单调性，再由单调性求值域．
若函数的定义域是，，则其值域为
A．B．，C．D．
【解答】解：由题意可得：当时，则所以
当，时，则，所以，，
所以函数的值域为．
故选：．
函数的值域
A．B．
C．D．
【解答】解：函数，
由于，故函数的值域为，
故选：．
函数的值域是 ， ．
【解答】解：令，则，
所以，
所以函数的值域是，．
故答案为：，．
函数的值域为
A．，B．，C．D．
【解答】解：函数的定义域为，，令，则，
可得，
故当时，函数取得最大值为，函数没有最小值，
故函数的值域为，，
故选：．
函数的值域为 ， ．
【解答】解：因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
求函数解析式
【要点讲解】(1)待定系数法:适于已知函数的类型,先设出解析式,再利用恒等式等号两边的系数相等求解.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,要注意新元的取值范围.
(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)消去法:已知关于f(x)与f(1x) (或f(-x))的关系式,根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,消去f(1x) (或f(-x))求出f(x).
已知函数是一次函数,若,则 .
【解析】设函数 , 则,又 , 所以 ,即 解得 或 所以 或 .
若为二次函数且,则 .
【解析】设函数 ,因为 ,所以 即 ,所以 .
已知,则 .
【解析】方法一(换元法):
令 , 则 ,
则 ,
所以 .
方法二(配凑法)
因为 ,
且 , 所以 .
已知,则 .
【解析】令 , 则 ;
则
所以 .
已知满足,则 .
【解析】在 中, 将 换成 , 得 ,
由
消去 得 .
已知,则 .
【解析】在 中, 将 换成 , 得 ,
由
消去 得 .
分段函数求值
【要点讲解】先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
设函数，则 ，若，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：函数，
，
（1）；
（a）或，
解得或，
若（a），则实数的取值范围是，，．
故答案为：；，，．
，则的值为 2 ．
【解答】解：由题意，自变量为2，
故内层函数（2），
故有（1），
即（2）（1），
故答案为 2
若，则 ．
【解答】解：（3）
（3）
故答案为．
已知函数，则（ ）
A．0B．C．D．1
【解答】解：因为，代入函数解析式得（5），
所以（5），因为，代入函数解析式得
故选：．
分段函数求参数
【要点讲解】先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
已知函数，若，则的值是
A．3或B．或5C．D．3或或5
【解答】解：若，则（a）
舍去）
若，则（a）
综上可得，或
故选：．
设函数，若，则实数的值为
A．B．C．或D．或
【解答】解：由题意知，（a）；
当时，有，解得，（不满足条件，舍去）；
当时，有，解得（不满足条件，舍去）或．
所以实数 的值是：．
故选：．
设函数，若，则 或3 ．
【解答】解：由题意可得或
或
故答案为：或3
已知函数，若，则的值是
A．B．或C．或D．
【解答】解：令（a）
则或，
解之得或，
故选：．
分段函数与不等式
【要点讲解】已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．尤其要注意，当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
已知函数若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：根据函数的图象，可得在上单调递增，
若（a），则有，
，，
则实数的取值范围是．
故选：．
已知函数则不等式的解集是
A．，，B．C．D．
【解答】解：分别画出函数与的图象，如图所示，
由图象可得不等式的解集是，，
故选：．
设函数则满足的取值范围为 ．
【解答】解：作图如下：
因为，所以，
解得，
故答案为：．
已知函数，则 ；若，则的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意可知，（9），
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：，．
新定义
【要点讲解】(1)新定义问题是先给出一个新的概念,或给出一个抽象函数的性质,然后根据这种新定义解决相关的问题.
(2)解决问题的关键是破译题目的信息,转化为熟悉的问题便可获解.
世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知，，则函数的值域为
A．，6，B．，5，C．，5，6，7，D．，
【解答】解：易知，在上单调递减，，上单调递增．
当时，；当时，；当时，，
所以，则函数的值域为，5，6，7，．
故选：．
十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” 它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：由题意可知，
所以（1），，，而无解．
故选：．
高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为
A．B．，C．，0，D．，，
【解答】解：因为
又，
所以，
所以
所以，
则的值域，0，．
故选：．
一般地，若的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．
（1）若，为的跟随区间，则 2 ．
（2）若函数存在跟随区间，则的取值范围是 ．
【解答】解：（1），为的跟随区间，函数值域为，．二次函数的对称轴方程为：，
函数在，上单调递增．，解得：，故的值为2；
（2）设跟随区间为：，．函数的定义域为：，，．
函数是定义域上的减函数且定义域、值域都是，，
，，
，又，
，，代入得：，
同理：，可令，方程在范围内有两个不等实根，
函数与函数有两个交点，又函数的值域，，
由二者图象可知：，．
故答案为：，，
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．函数的定义域为，，则的定义域为
A．，B．，，C．，D．，，
【解答】解：由题意得，解得且．
故选：．
2．下列函数中，值域是的是
A．B．
C．D．
【解答】解：选项，的值域是，，即不符合题意；
选项，的值域是，，，即不符合题意；
选项，的值域是，即不符合题意；
选项，因为，所以，所以，所以其值域为，即符合题意．
故选：．
3．下列表示同一个函数的是
A．与B．与
C．与D．与
【解答】解：对于，的定义域为，的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故错误；
对于，的定义域为的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故错误；
对于，，
这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，
故是同一个函数，故正确；
对于，与的定义域和对应法则都不同，
不是同一个函数，故错误；
故选：．
4．已知函数是一次函数，且，则的解析式为
A．B．C．D．
【解答】解：因为函数是一次函数，则设，
因为，
所以，
则，解得，，
所以函数．
故选：．
5．函数的定义域是
A．B．C．D．，，
【解答】解：由题意可得，，
解得且，
即函数的定义域为，，．
故选：．
6．已知函数与，若存在使得，则不可能为
A．B．C．D．
【解答】解：对于选项，若，当时，，当时，，
相当于1个值对应两个，不符合函数定义，即错误；
对于选项，，令，则，当且仅当时成立，整理得，解得，
即，即，
存在，所以选项正确；
对于选项，，令，得，则，即，
存在，所以选项正确；
对于选项，，可得出，存在所以选项正确；
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．有以下判断，其中是正确判断的有
A．与表示同一函数
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．若，则
D．函数的最小值为
【解答】解：对于，的定义域为，，，的定义域为，故不是相等函数，错误；
对于，根据函数的定义可知，当的定义域中含有1时，函数与有一个交点，（1），
当的定义域中不含1时，函数与没有交点，故正确；
对于，因为，则，所以，故正确．
对于，函数，当且仅当时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故错误；
故选：．
8．存在函数，对任意都有，则函数不可能为
A．B．
C．D．
【解答】解：对于选项，是奇函数，是偶函数，则，矛盾，不满足条件；
对于选项，若，取满足条件；
对于选项，取和，可得，，矛盾，不满足条件；
对于选项，，则，单调递增，且，即为奇函数，图象如下所示，
所以值域为，满足条件．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．函数的定义域为 且 ．
【解答】解：由题意得，解得且．
故答案为：且．
10．记，，若，，则的值域为 ， ．
【解答】解：因为当时，，
令，解得，
当时，，
因为（5），（5）（5），，，
所以，使得，
所以，
画出的图象如图，由图易知，的最小值为（2），
的值域为，．
故答案为：，．
11．函数的值域是，，则的定义域可以是 ，
【解答】解：令，则，，
原函数可化为，
由题意可得，
解得，，
故，
所以，
解得．
故答案为：，．
12．已知函数，则的值域为 ；函数图象的对称中心为 ．
【解答】解：，
，，则，，，
即，则函数的值域为，
，
则，
得，即函数的对称中心为，
故答案为：，．
四．解答题（共3小题）
13．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，解得，且，
所以这个函数的定义域为，，．
（2）由题意可得，解得或，
所以函数的定义域为，，．
14．已知函数，．
（1）求的定义域；
（2）若和的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，，
，求得，
故函数的定义域为．
（2）和的图象有两个不同的交点，
即方程有2个解，
即有2个正解，即有2个正解，
，求得或，
故实数的取值范围为或．
15．已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）设函数的值域为，
①求；
②若至少有两个不同的，使得，求正数的取值范围．
【解答】解：（1）令，得，解得或；
（2）①因为，
因为，所以，
所以，，
即函数的值域，；
②因为至少有两个不同的，使得，
所以至少有两个不同的，使得，
因为，所以，
令，解得，，2，3，，
所以，，．解析法
图象法
列表法
用解析式表示两个变量之间的对应关系
用图象表示两个变量之间的对应关系
列出表格来表示两个变量之间的对应关系