新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第03章专题01 导数的概念及其意义、导数的运算（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第03章专题01 导数的概念及其意义、导数的运算（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了1时，的平均变化率为，5　．等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc141036047" 题型一： 导数的概念 PAGEREF _Tc141036047 \h 3
\l "_Tc141036048" 题型二： 导数的运算 PAGEREF _Tc141036048 \h 5
\l "_Tc141036049" 题型三： 导数的几何意义——求切线方程 PAGEREF _Tc141036049 \h 8
\l "_Tc141036050" 题型四： 导数的几何意义——求切点坐标 PAGEREF _Tc141036050 \h 12
\l "_Tc141036051" 题型五： 导数的几何意义——求参数的值 PAGEREF _Tc141036051 \h 14
\l "_Tc141036052" 题型六： 公切线问题的求法——判断公切线的条数 PAGEREF _Tc141036052 \h 16
\l "_Tc141036053" 题型七： 公切线问题的求法——求两曲线的公切线 PAGEREF _Tc141036053 \h 18
\l "_Tc141036054" 题型八： 公切线问题的求法——求参数的值或范围 PAGEREF _Tc141036054 \h 20
知识点总结
导数的概念及其意义
(1)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率eq \f (Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f (Δy,Δx)有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′| x＝x0，即f ′(x0)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f (Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f (f x0＋Δx－f x0,Δx).
(2)导数的几何意义：函数y＝f (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应的切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(3)导函数的概念：当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f (f x＋Δx－f x,Δx).
导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
(2)导数的四则运算法则
(3)简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
例题精讲
导数的概念
【要点讲解】 求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)得导数,简记作:一差、二比、三极限.
函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
（2023春•儋州校级月考）已知函数，则
A．3B．5C．7D．6
【解答】解：根据题意，，则（3），又．
故选：．
（2023春•民勤县校级月考）已知，则
A．B．C．1D．4
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
（2023春•江西月考）若，则
A．1B．2C．D．
【解答】解：，
则，解得．
故选：．
（2023春•青岛期中）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度为
A．B．C．D．
【解答】解：，
则，
故（5）．
故选：．
（2023春•江西月考）已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为
A．1B．1.1C．2D．2.1
【解答】解：由题意得，故△（1），
故，
即当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为2.1．
故选：．
（2023春•驻马店月考）已知某质点的位移与时间的关系式是，则质点在时的瞬时速度为
A．B．C．D．
【解答】解：因为质点的位移与时间的关系式是，
所以，
故质点在时的瞬时速度为．
故选：．
导数的运算
【要点讲解】(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
（2023春•天祝县校级月考）函数的导函数是
A．B．
C．D．
【解答】解：，
．
故选：．
（2023春•青铜峡市校级期中）下列求导数运算中正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：对于选项，，故错误；
对于选项，，故正确；
对于选项，，故错误；
对于选项，，故错误．
故选：．
（2023春•高新区校级月考）已知，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
则．
故选：．
（2023春•深圳校级月考）已知函数（2），其中是的导函数，则（2）
A．12B．20C．10D．24
【解答】解：（2），
则，
令，
则（2），
故，
（2）．
故选：．
（2023春•葫芦岛月考）已知函数（1），则（1）
A．B．4C．D．2
【解答】解：，所以（1）（1），解得（1），
则，故（1）．
故选：．
（2023春•濮阳期末）已知函数，则（2）
A．B．C．D．
【解答】解：已知，函数定义域为，
可得，
则（2）．
故选：．
（2023春•河池月考）已知，若，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：，
令，即，所以．
故选：．
（2023春•梅河口市校级月考）设，若，则
A．1B．C．3D．
【解答】解：，，解得：．
故选：．
（2023春•定远县校级期中）设，若在处的导数，则的值为
A．0B．C．3D．6
【解答】解：，
，解得．
故选：．
导数的几何意义——求切线方程
【要点讲解】求曲线y=f(x)过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));
第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
（2023春•武功县期中）函数的图象如图所示，则下列关系正确的是
A．（2）（3）（3）（2）
B．（2）（3）（2）（3）
C．（3）（3）（2）（2）
D．（3）（2）（3）（2）
【解答】解：由函数的图象可知：
当时，单调递增，且当时，，
（2），（3），（3）（2），
由此可知，
直线的斜率逐渐减小，
单调递减，
（2）（3），
为凸函数，
（3）（2）（2），
（3）（3）（2）（2），
故选：．
（2023•麒麟区校级模拟）已知函数与的部分图象如图所示，则
A．B．
C．（3）（3）D．（3）（3）
【解答】解：根据题意，由函数的图象，
函数与在区间，上单调递增，则有，，、错误；
在处，和都是增函数，但的图象更陡，则的切线斜率小于的切线斜率，即（3）（3），错误，正确．
故选：．
（2023春•通州区期中）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是
A．（3）（2）（1）B．（1）（2）（3）
C．（1）（2）（3）D．（3）（2）（1）
【解答】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢，
故（3）（2）（1）．
故选：．
（2023春•恩阳区 期中）的图象如图所示，下列数值的排序正确的是
A．（2）（3）（3）（2）B．（3）（3）（2）（2）
C．（3）（2）（3）（2）D．（3）（2）（3）（2）
【解答】解：设，（2），，（3）为的图象上两点，
则（3）为函数在处切线的斜率，
（2）为函数在处切线的斜率，
，
函数为增函数，但增加的越来越慢，
则（3）（3）（2）（2）．
故选：．
（2022秋•衡水月考）已知函数，则曲线在点，（1）处的切线方程为 ．
【解答】解：，
，
（1），（1），
曲线在点处的切线方程为：
，即，
故答案为：．
（2022•辽宁三模）已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点，处的切线方程是 ．
【解答】解：，，，
，，
所求切线方程为，即．
故答案为：．
（2021春•昌邑市校级月考）曲线，在点处的切线方程为 ．
【解答】解：由，
则，
所以，
所以在点处的切线方程为，
即，
故答案为：．
（2021春•石首市校级月考）已知曲线．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点并与曲线相切的直线方程．
【解答】解：（1）
当时，
点处的切线方程为：即：
（2）设切点坐标为
则直线斜率，
而，
整理得到：
解得，，
当时：，直线方程为；
当时，，直线方程为
当时，，直线方程为
导数的几何意义——求切点坐标
【要点讲解】求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.
（2023春•海淀区校级期中）若曲线的一条切线的斜率为4，则切点的横坐标为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：设切点的横坐标为，
则由题意可得：．
故选：．
（2021秋•开封期末）如图，函数的图象在点处的切线方程是，若点的横坐标是5，则（5）（5）
A．B．1C．2D．0
【解答】解：函数的图象在点处的切线方程是，
（5），（5），
（5）（5），
故选：．
（2020•沈阳三模）过点作曲线的切线，则切点坐标为 ．
【解答】解：因为，
所以，设切点为，，
，根据题意可得，
，即切点坐标．
故答案为：．
（2023•鹰潭一模）已知曲线在点，处的瞬时变化率为，则点的坐标为 ．
【解答】解：，，
令，则，，
点的坐标是，
故答案为：．
导数的几何意义——求参数的值
【要点讲解】利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
（2023春•扬中市校级月考）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是
A．B．C．D．
【解答】解：设，，则，且，，
角的范围是：．
故选：．
（2022•呼和浩特模拟）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是
A．，B．C．D．
【解答】解：设切点为，，过点的切线方程为，
代入点坐标化简为，即这个方程有三个不等根即可，
令，
求导得到，
令，得，或，
令，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
故得到，即
故选：．
（2021春•临渭区期末）设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是
A．B．，，C．D．
【解答】解：，，
，，，
故选：．
（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ，， ．
【解答】解：，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
若曲线为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则值可以是
A．B．C．0D．1
【解答】解：，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，所以正确；
故选：．
公切线问题的求法——判断公切线的条数
【要点讲解】解题关键.
(1)导数的几何意义:切线的斜率k等于导函数在切点处的函数值;
(2)两个等量关系:切点在切线上,又在曲线上.
求公切线的思路:先解决切线和第一条曲线相切,然后再解决切线和第二条切线相切即可.
（2023•广东模拟）曲线与的公共切线的条数为 2 ．
【解答】解：设曲线上的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
由得，
则，
所以，
所以曲线上的切点为，，
所以切线方程为，
所以，
所以，
在同一坐标系中作出曲线和的图象，
由图可知，两函数图象有两个交点，
故答案为：2．
（2023秋•镇江期末）曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 1 ．
【解答】解：设与曲线和曲线相切的切点分别为，，
则，，，
由，，
即有，
即，，
即为，，
令，则有，
令，
，递增，
（2），（3），
由零点存在定理可得有且只有一个实根，
即有唯一，唯一，
则有公切线的条数为1．
故答案为：1．
公切线问题的求法——求两曲线的公切线
【要点讲解】
（2023秋•岳阳楼区校级月考）已知为自然对数的底数），，直线是与的公切线，则直线的方程为 或 ．
【解答】解：根据题意，设直线与相切于点，与相切于点，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
直线是与的公切线，
则，
变形可得：，
则或0，
当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为；
故直线的方程为或；
故答案为：或．
（2023春•涪城区校级期中）若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则 0 ．
【解答】解：，，
如图所示，设公切线与相切于，，与相切于，，则有以下关系：
，求得，
故公切线方程为，所以，
即，．
故答案为：0．
（2020春•丽江期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【解答】解：根据题意，设与的切点为，，
与的切点为，；
对于，其导数，则切线的斜率，
切线的方程为，即；
对于，其导数，
则切线的斜率，
切线的方程为，
即；
又由直线是曲线的切线，也是曲线的切线，
则有，且；
若，则，
则；解可得，；
则；
故答案为：．
公切线问题的求法——求参数的值或范围
（2023春•靖江市校级月考）已知曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：由，得，由，得，
设直线分别与、切于，、，，
则直线的方程为，，
即，．
，可得．
令，则，
则当时，，单调递增，
当，时，，单调递减．
．
又当时，，当时，，
，，可得，．
故答案为：，．
（2023•唐山三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为 ．
【解答】解：设公切线与曲线和的切点分别为，，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即．
正实数的取值范围是．
故答案为：．
（2022秋•安徽月考）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得，，．
设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点，，
，
，
，
，
．
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，
实数的最大值为，
故选：．
（2022秋•淅川县校级月考）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：由，，得，，
设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，，
，得，
，可得，
，，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，可得实数的最大值为．
故选：．
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为
A．B．C．D．
【解答】解：当时，由，解得或（舍去），
因为，则，
当时，，
故选：．
2．一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在，内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知，
，
，
，
故选：．
3．若函数在处的导数为2，则
A．2B．1C．D．6
【解答】解：由题意可知（1），
则（1）．
故选：．
4．已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为
A．1B．1.1C．2D．2.1
【解答】解：由题意得，故△（1），
故，
即当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为2.1．
故选：．
5．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则
A．（1）（2）
B．（2）（1）
C．（2）（1）
D．（2）（1）
【解答】解：由函数图象可知，当时，函数匀速递增，
故是一个大于0的常数，
当时，函数递减，且递减幅度越来越快，
，且单调递减，
则（2）（1），
故选：．
6．一个质点沿直线运动，位移（单位：与时间（单位：之间的关系，则质点在时的瞬时速度为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
质点在时的瞬时速度为．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【解答】解：在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故选项错误；
在时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故选项错误；
在到范围内，，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项正确；
在0到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项正确．
故选：．
8．在附近，取△，下列函数中平均变化率为负数的是
A．B．C．D．
【解答】解：对于，平均变化率为1，故错误；
对于，平均变化率为，故错误；
对于，平均变化率为，故正确；
对于，平均变化率为，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率 ．
【解答】解：由题意，如图，设时刻水面高为，水面圆半径是，
由图知可得，此时水的体积为，
又由题设条件知，此时的水量为，
故有，
故有，
，
又当时，此时，
故时，，
当水深为时，水升高的瞬时变化率，
故答案为：．
10．函数在，处的切线与直线垂直，则实数的值为 ．
【解答】解：，，
在，处的切线斜率为3，直线的斜率为，
在，处的切线与直线垂直，
，解得．
故答案为：．
11．曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为 ．
【解答】解：因为，
所以，
设切点为，
则，所以，解得，
所以，即切线的斜率为．
故答案为：．
12．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：与时间（单位：之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为 13.5 ．
【解答】解：，，
则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为，
故答案为：13.5．
四．解答题（共3小题）
13．已知质点按照规律（距离单位：，时间单位：运动，求：
（1）质点开始运动后内的平均速度；
（2）质点在到内的平均速度；
（3）质点在时的瞬时速度．
【解答】解：（1）时，，
所以平均速度；
（2）时，，
所以到内的平均速度；
（3）因为，
所以在时的瞬时速度为：．
14．求函数在区间，上的平均变化率．
【解答】解：函数在区间，上的平均变化率．
故其平均变化率为．原函数
导函数
f (x)＝c(c为常数)
f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f ′(x)＝αxα－1
f (x)＝sin x
f ′(x)＝cs_x
f (x)＝cs x
f ′(x)＝－sin_x
f (x)＝ax(a>0，且a≠1)
f ′(x)＝axln_a
f (x)＝ex
f ′(x)＝ex
f (x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f ′(x)＝eq \f (1,xln a)
f (x)＝ln x
f ′(x)＝eq \f (1,x)
运算法则
和差
[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)
积
[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)，
特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x)
商
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (f x,gx)))′＝eq \f (f ′xgx－f xg′x,[gx]2)
(g(x)≠0)