华东师大版（2024）九年级上册（2024）23.4 解直角三角形说课课件ppt

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解直角三角形解非直角三角形解直角三角形在实际问题中的应用
1. 解直角三角形：直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
说明已知直角三角形中除直角外的五个元素中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素，简记为“知二求三”.
深度理解1. 已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的大小不唯一，所以有无数个三角形符合条件.2. 已知一角一边时，角必须为锐角，若已知角为直角，则不能求解.
特别提醒解直角三角形的原则：1. 有斜用弦，无斜用切：当求解过程中涉及斜边时，用正弦或余弦， 不涉及斜边时，用正切；2. 宁乘勿除：当求解过程中既可以用乘法计算又可以用除法计算时，优先选用乘法 计算；3. 取原避中：能用原始数 据求值就避免使用中间数据，以减小误差.
在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件，解直角三角形：(1)∠A＝30°，b＝12； (2)∠A＝60°，c＝6.
解题秘方：紧扣以下两种思路求解：①求边时，一般用未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角函数. ②求角时，一般用直角三角形的两锐角互余求解.
2-1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件，解直角三角形：(1)c＝20，∠A＝45°；
(2)a＝8，∠A＝60°.
解非直角三角形的问题时往往要构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形问题，常见的类型有以下三种：
特别解读解非直角三角形的方法：当已知图形为非直角三角形时，往往通过作垂线构造直角三角形，从而将问题转化为解直角三角形.若已知条件中存在30°或45°或60°的角，则在构造直角三角形时，尽可能使这些特殊角是直角三角形的锐角.
如图23.4－2，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝75°，AC＝2，求BC的长.
解题秘方：已知的△ABC不是直角三角形，这时可以作三角形的一条高，把原三角形转化为两个直角三角形，在选择作哪一条边上的高时，要注意尽量不破坏三角形中的特殊角，这样便于进一步计算.
构造出含有特殊角的Rt△ADC和Rt△BDC.
解直角三角形在实际问题中的应用
1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有 关性质，解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)检验，得到实际问题的答案.
2. 解直角三角形的应用中涉及的有关概念(1)仰角、俯角问题①铅垂线：重力方向所在的直线.②水平线：垂直于铅垂线的一条直线.③仰角与俯角：如图23.4－3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
说明坡度、坡角都是表示斜坡倾斜程度的量，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
(3)方向角：以观测者的位置为原点，由东、西、南、北四个方向把平面划分为四个部分，以正北或正南方向为始边，旋转到观测目标的方向线所成的锐角称为方向角.如图23.4－5，点A在北偏东30°的方向上，点B在北偏西45°的方向上，也称西北方向.
注意(1)方向角一般写成“北偏……”“南偏……”的形式；(2)解决实际问题时可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形.
特别提醒1. 在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.2. 若问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，则可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解.
某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图23.4－6，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°.
解题秘方：过点A向CD边作垂线，构造直角三角形.先在Rt△ACE 中求出AE的长，再在Rt△ADE中求出AD的长.
4-1. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛. 如 图，O，C是同一水 平线上的两点，无人机 从O点竖直上升到A点， 在A点测得C点的俯角 为30°，A，C两点的距 离为24 m.无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°.
解题秘方：紧扣坡度、坡角的定义即可求解.
如图23.4－8，灯塔A周围9 n mile内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6 n mile后到达C处，测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin 32°≈ 0.530，cs 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，sin 58°≈0.848，cs 58°≈0.530，tan 58°≈1.600)
解题秘方：根据题意作AD⊥BC，构造直角三角形，设AD＝x，根据等腰直角三角形的性质表示出CD，再用含x的代数式表示出BD，根据正切的定义列方程求解．
解：如图23.4－8，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°. 设AD＝x.由题意得∠ABD＝90°－58°＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6，∴在Rt△ACD中，∠CAD＝∠ACD＝45°. ∴CD＝AD＝x.∴BD＝BC＋CD＝6＋x.
6-1. 如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，木栈道AB与景区道路CD平行，在C处测得木栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得木栈道另一端B位于北偏西32°方向，已知CD＝120 m，BD＝80 m，求木栈道AB的长度.(保留整数，参考数据：sin 32°≈0.53，cs 32°≈0.85，tan 32°≈0.62，sin 42°≈0.67，cs 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F. 易得四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120,CE＝DF.在Rt△BDF中，∠BDF＝32°,BD＝80,∴BF＝80·sin 32°≈80×0.53＝42.4，DF＝80·cs 32°≈80×0.85＝68.∴EB＝EF－BF≈120－42.4＝77.6.
在Rt△ACE中，CE＝DF≈68,∠ACE＝42°，∴AE≈68·tan 42°≈68×0.90＝61.2.∴AB＝AE＋EB≈61.2＋77.6≈139(m).答：木栈道AB的长度约为139 m.
利用解直角三角形求线段的长
技巧点拨解四边形问题时，通常通过作辅助线将问题转化成解直角三角形问题，作辅助线时注意：1. 尽量不破坏题目中原有的已知角，特别是一些特殊角；2. 尽量使已知的边作为构造的直角三角形的边，否则会给解题造成麻烦或不能求解.
利用解直角三角形探究几何综合问题
[中考·苏州]综合与实践小明同学用一副三角板进行自主探究. 如图23.4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，在△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12 cm．
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，找出线段之间的数量关系求解．
【观察感知】(1)如图23.4－10①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．(结果保留根号)
【探索发现】(2)在图23.4－10①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上(如图23.4-10②)．
①求线段AD的长；( 结果保留根号)
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
解：AB⊥DE.理由如下：∵在Rt△CGA中，∠ CGA＝90°，AG＝CG＝6，∴∠CAG＝∠ACG＝45°.又∵∠BAC＝45°，∴∠DAB＝∠CAG＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，∴AB⊥DE．
思路点拨(1)先根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ABC＝45°，再求出∠CDE＝60°，然后根据三角形外角的性质即可得∠AFD＝15°，最后根据解直角三角形可得AC,CD的长，根据线段的和差即可求得AD的长.
(2)①过点C作CG⊥ DE，垂足为G，先解直角三角形可得CG,DG的长，再利用勾股定理可得AG的长，然后根据线段的和差即可求得AD的长；②根据等腰三角形的性质可得∠CAG＝∠ACG＝45°，则可得 ∠DAB＝90°，由此即可得AB与DE的位置关系.
利用解直角三角形测量高度
无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图23.4－11，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80 m，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°.已知点A与大楼的距离AB为70 m(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)．
解题秘方：作辅助线构造直角三角形，利用解直角三角形求出高度．
关键点拨本题由平行线的性质将两个俯角转化为内错角放在两个直角三角形中，利用解直角三角形及矩形的性质解决问题．
为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量.
解题秘方：先利用三角形外角的性质和等角对等边求出DN，再在Rt△DNE中利用正弦的定义求出DE，最后不要忘记加上CE.
关键点拨本题中测角仪的顶端所在水平线与水平地面平行，据此构造出矩形和直角三角形，利用解直角三角形和矩形的性质解决问题.
[中考·盐城]如图23.4－13，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为_______m(精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)．
关键点拨本题关键是构造直角三角形，根据正切的定义求出相关线段的长，最后利用线段的差求解.
如图23.4-14，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A，D，C三点可看到铁塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.
解题秘方：因为只有宽度AD、高度CD可直接测得，所以可从A，D，C三点进行测量，将其转化为仰角问题.
(1)请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量铁塔顶端到地面的高度HG的方案，具体要求如下：在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A，D间的距离，用m表示；如果测D，C间的距离，用n表示；如果测角，用α，β，γ等表示，测倾器高度不计)；
解：如图23.4－14，过点D作DM⊥HG于点M，连结DH，CH，测量∠HDM的度数，记为α，测量∠HCG的度数，记为β，测量CD的长，记为n.
(2)根据你测量的数据，计算铁塔顶端到地面的高度HG(用字母表示).
另解(1)如图23.4－15，过点D作DM⊥HG于点M，连结AH，DH. 测量∠HDM的度数，记为α，测量∠HAM的度数，记为γ，测量CD 的长度，记为n，测量AD的长度，记为m.
当三角形的形状不确定时，没有进行分类讨论而致错
诊误区：在解非直角三角形时，已知两边及一边的对角(锐角)时，由于题目中没有给出图形，所以我们要进行分类讨 论，有时受思维定式的影响，往往只考虑锐角三角形，而忽略了存在钝角三角形的 情况.本题中三角形的形状不确定，所以求BC的长时，应该有两种情况.错解只考虑了△ABC为锐角三角形的情况，而忽略了△ABC为钝角三角形的情况.
[中考·乐山]如图23.4－18，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2．
试题评析：本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，过顶点作垂线段构造直角三角形是解题的关键．
(2)求点C到线段AB的距离.
利用解直角三角形解决仰角、俯角、坡度问题
试题评析：本题考查解直角三角形在仰角、俯角、坡度问题中的应用，合理构造直角三角形是解题的关键.
(1)求平台BN的高度；
(2)求建筑物的高度(即CD的长)．
[中考·长沙]如图23.4－20，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.
利用解直角三角形解决方向角问题
经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800 m.
试题评析：本题主要考查解直角三角形在方向角问题中的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键.
(1)求∠ACB的度数；
解：如图23.4－20，由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM. ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ ACM＝∠CAF＝ 30°. ∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝30°.
(2)求景点C与景点D之间的距离(结果保留根号).
5. [中考·眉山]人字梯为现代家庭常用的工具. 如图，若 AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是_____m.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 65° ≈0.91，cs 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)
6. [中考·武汉]某科技小组用无人机测量一池塘水面两端 A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120 m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离约是_______m.(tan 22°取0.4)
7. 为了提高地下车库出入口车辆的通行效率，车牌识别系统被广泛应用，如图①是生活中某一地下车库，出口为斜坡，
8. [中考·重庆]如图，在Rt△ABC中，∠ BAC＝ 90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形，若AB＝2，求△ABC的周长. (结果保留根号)
9. [中考·陕西]小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度.在征得家长同意后，他们带着工具前往测量.测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，
又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22 m.已知DE＝1.7 m，点A，B，C在同 一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直. 求信号杆的高AB.(参考数据：sin 72.5°≈ 0.95，cs 72.5°≈0.30，tan 72.5°≈3.17)
∵DE∥AC,∴易得∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°，∴四边形EDHI是矩形,∴EI＝HD≈20.9，IH＝DE＝1.7,∵∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，∴∠EAI＝45°，∴∠AEI＝∠EAI，∴AI＝EI≈20.9，∴AB＝AI＋IH－BH≈20.9＋1.7－6.6＝16(m).答：信号杆的高AB约为16 m.
10.【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船 能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈ 0.80，tan 37°≈0.75， sin 14°≈0.24，cs 14°≈0.97，tan 14°≈0.25).