数学九年级上册4. 相似三角形的应用教案及反思

相似三角形的应用

【知识与技能】

会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.

【过程与方法】

通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力.

【情感态度】

让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用.

【教学重点】

构建相似三角形解决实际问题.

【教学难点】

把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决.

一、情境导入，初步认识

复习

1.相似三角形有哪些性质？

2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.

（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？

（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？

（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）

二、思考探究，获取新知

第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.

例1  古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.

【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，从而求得OB的长度.

解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA,

∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°,

∴△OAB∽△O′A′B′.

答：金字塔的高度OB为137米.

例2  如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一这一边上选定点B和C，使AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.

解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB==100（米）.

答：两岸间的大致距离为100米.

这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.

例3  如图，已知D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE=∠C.求证：AD·AB=AE·AC.

【分析】把等积式化为比例式,猜想△ADE与△ABC相似，从而找条件加以证明.

证明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,

∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）.

∴,

∴AD·AB=AE·AC.

三、运用新知，深化理解

1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m，在这岸离开岸边16m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？

【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE∽△ACD,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC的长.

2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C、D、N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？

【答案】1.24m    2.20.8m

【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.

四、师生互动，课堂小结

这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？

【教学说明】学生小组讨论，分小组陈述演示，教师归纳板书.

1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题（相似）来解决,进一步提高学生应用数学知识的能力.