初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）2. 相似三角形的判定第2课时教学设计

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1.掌握相似三角形的判定定理2和判定定理3；（重点）
2.能熟练运用相似三角形的判定定理2和判定定理3.（难点）
【教学过程】
一、情景导入
画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，eq \f(AB,A′B′)和eq \f(AC,A′C′)都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？
二、合作探究
探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（ ）
A.AB·CD＝BD·BC
B.AC·CB＝CA·CD
C.BC2＝AC·DC
D.BD2＝CD·DA
解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即eq \f(CD,CB)＝eq \f(CB,AC)或BC2＝AC·DC.故选C.
方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.
探究点二：三边成比例的两个三角形相似
已知△ABC的三边长分别为1，eq \r(2)，eq \r(5)，△DEF的三边长分别为eq \r(10)，eq \r(2)，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.
解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.
解：因为eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(5),\r(10))，
所以△ABC与△DEF相似.
方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.
探究点三：相似三角形的判定定理2及判定定理3的应用
如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？
解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似.
解：由甲图可知AC＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，BC＝2，AB＝eq \r(12＋33)＝eq \r(10).
同理，图①中，三角形的三边长分别为1，eq \r(5)，2eq \r(2)；
同理，图②中，三角形的三边长分别为1，eq \r(2)，eq \r(5)；
同理，图③中，三角形的三边长分别为eq \r(2)，eq \r(5)，3；
同理，图④中，三角形的三边长分别为2，eq \r(5)，eq \r(13).
∵eq \f(\r(2),1)＝eq \f(2,\r(2))＝eq \f(\r(10),\r(5))＝eq \r(2)，
∴图②中的三角形与△ABC相似.
方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.
如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.
解析：欲求厚度x，而x＝eq \f(a－AB,2)，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB的比例式，解之即可.
解：因为OA：OC＝OB：OD，∠AOB＝∠COD，
所以△AOB∽△COD，
故eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝n，可得AB＝bn，
所以x＝eq \f(a－bn,2).
方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.
如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？
解析：要证明△PBQ与△ABC相似，很显然∠B为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论.
解：设经过t s后，△PBQ与△ABC相似.
（1）当eq \f(BP,BA)＝eq \f(BQ,BC)时，
△PBQ∽△ABC.
此时eq \f(8－t,8)＝eq \f(2t,16)，解得t＝4.
即经过4s后△PBQ与△ABC相似；
（2）当eq \f(BP,BC)＝eq \f(BQ,BA)时，△PBQ∽△CBA.
此时eq \f(8－t,16)＝eq \f(2t,8)，解得t＝1.6.
即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似.
综上可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s后△PBQ与△ABC相似.
易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ∽△ABC的情况，还要考虑△PBQ∽△CBA的情况.
【板书设计】
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.