3.3 导数与函数的极值、最值 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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1. 借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2. 能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值.3. 掌握利用导数研究函数最值的方法.4. 会用导数研究生活中的最优化问题.
1. 函数的极值与导数
提醒：（1）极值点不是点，若函数f（x）在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f（x1）；（2）f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但0不是极值点.
2. 函数的最值与导数
（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条 ⁠的曲线，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的 ⁠ ，f（b）为函数的 ；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的 ，f（b）为函数的 ⁠.
若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对于可导函数f（x），若f'（x0）＝0，则x0为极值点.（　×　）
（2）函数的极大值不一定比极小值大.（　√　）
（3）闭区间上的连续函数必有最值.（　√　）
（4）函数在区间（a，b）上不存在最值.（　×　）
（5）函数的极大值一定是函数的最大值.（　×　）
（6）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，则y＝f（x）在区间（a，b）内不单调.（　√　）
2. 如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，下列结论正确的是（　　）
解析： 　由题图可知当x＜－2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x≥－2时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，故－2是函数y＝f（x）的极小值点，y＝f（x）无极大值.故选C.
3. 函数f（x）＝ln x－x在区间（0，e]上的最大值为（　　）
4. 函数 g（x）＝－x2的极值点是 ，函数f（x）＝（x－1）3的极值点 （填“存在”或“不存在”）.
解析：结合函数图象（图略）可知g（x）＝－x2的极值点是x＝0.因为f'（x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0无变号零点，故函数f（x）＝（x－1）3不存在极值点.
5. 若函数f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝ ⁠.
解析：∵f（x）＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f'（2）＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意.
函数的极值（定向精析突破）
考向1　由图象判断函数的极值
〔多选〕设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数g（x）＝xf'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
解析： 　根据g（x）＝xf'（x）的图象，可得当x＜－2时，g（x）＝xf'（x）＞0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当－2＜x＜0时，g（x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，当0＜x＜1时，g（x）＝xf'（x）＜0，可得f'（x）＜0，即f（x）单调递减，当x＞1时，g（x）＝xf'（x）＞0，可得f'（x）＞0，即f（x）单调递增，因此f（x）在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；f（0）为f（x）的极大值，B正确；f（－1）不是f（x）的极小值，D错误.
由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点
（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点；
（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.
考向2　求函数的极值（极值点）
已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.
于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值.
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.
求函数的极值或极值点的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根；
（3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的极值.
考向3　已知函数的极值求参数
（1）（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x－a）的极值点，则f（0）＝ ⁠；
解析： f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所以f（0）＝－4.
（2）若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围为 ⁠.
　　已知函数极值点或极值求参数的2个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.提醒：若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内不是单调函数.
函数的最值（定向精析突破）
考向1　不含参函数的最值
（2）已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），则x2－2x1的最大值为 ⁠.
利用导数求给定区间上函数最值的步骤
（1）求函数f（x）的导数f'（x）；
（2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有极值点的函数值；
（3）求f（x）在给定区间上的端点值；
（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值.
考向2　含参函数的最值
（1）讨论f（x）的单调性；
①若a≤0，则f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减；
②若a＞0，则当x＞a时，f'（x）＜0；当0＜x＜a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减.
　　求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2026·黑龙江伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为（　　）
2. 已知定义域为[－3，5]的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的图象如图所示，则（　　）
解析： 　由f'（x）的图象可知，当x∈（－2，2）或x∈（4，5）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，故A错误；当x∈（－3，－2）或x∈（2，4）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以当x＝2时，f（x）有极小值f（2），故B正确；由f'（x）的图象结合单调性可知，当x＝－2，2，4时，f（x）有极值，所以f（x）有3个极值点，故C错误；当x∈（－3，－2）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，所以f（－3）＜f（－2），f（x）在x＝－3处不取得最大值，故D错误.
5. 函数f（x）＝x2＋（a－1）x－3ln x在（1，2）内有最小值，则实数a的取值范围为（　　）
6. 〔多选〕（2026·山西运城调研）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则下面结论正确的为（　　）
解析： 　由题可得f'（x）＝ex－1[x2＋（a＋2）x＋a－1]，x∈R，因为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以f'（－2）＝0，则4－2（a＋2）＋a－1＝0，解得a＝－1，故f（x）＝（x2－x－1）ex－1，f'（x）＝ex－1（x2＋x－2）＝（x－1）（x＋2）ex－1，当x＜－2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的单调递增区间为（－∞，－2），（1，＋∞），单调递减区间为（－2，1），故A正确，B错误；由上可知，f（x）的极大值为f（－2）＝5e－3，极小值为f（1）＝－1，故C错误，D正确.
7. 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p（p≥20）元时的销售量为Q件，且Q＝8 300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润（毛利润＝销售收入－进货支出）为 元.
解析：设毛利润为L（p）元，由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）＝（8 300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11 700p－166 000（p≥20），所以L'（p）＝－3p2－300p＋11 700.令L'（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去）.因为当20≤p＜30时，L'（p）＞0，当p＞30时，L'（p）＜0，所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）也是最大值，L（30）＝23 000，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.
8. 已知函数f（x）＝x（ln x－ax）在（0，＋∞）上有两个极值，则实数a的取值范围为 ⁠.
（2）讨论函数f（x）的极值.
10. （2026·广东六校联考）函数结构是值得关注的对象.为了研究y＝xx（x＞0）的结构，两边取对数，可得ln y＝ln xx，即ln y＝xln x，两边取指数，得eln y＝exln x，即y＝exln x，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结合上述材料，y＝xx（x＞0）的最小值为（　　）
11. 已知直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋x和g（x）＝3x－1的图象交于点A，B，则｜AB｜的最小值为（　　）
解析： 　当x＝t时，｜AB｜＝｜f（t）－g（t）｜＝｜et＋t－3t＋1｜＝｜et－2t＋1｜.令h（t）＝et－2t＋1，则h'（t）＝et－2.令h'（t）＝0，得t＝ln 2，当t＜ln 2时，h'（t）＜0，当t＞ln 2时，h'（t）＞0，∴h（t）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，则h（t）min＝h（ln 2）＝3－2ln 2＞0，∴｜AB｜的最小值为3－2ln 2.
12. 〔多选〕（2026·山东济南联考）已知函数f（x）＝ex（ sin x＋ cs x）在区间（－2π，0）内有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（　　）
14. （15分）已知函数f（x）＝ln x－ax，x∈（0，e]，其中e为自然对数的底数.（1）若x＝1为f（x）的极值点，求f（x）的单调区间和最大值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）的最大值是－3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.