第三章 微专题一 放缩法证明不等式 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

这是一份第三章 微专题一 放缩法证明不等式 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用），共17页。PPT课件主要包含了常见的三角函数放缩等内容，欢迎下载使用。
　　放缩法主要应用于不等式的证明问题中，函数与导数不等式中的放缩问题主要涉及利用基本不等式进行放缩，与ex、ln x有关的放缩及与三角函数 sin x、 cs x、tan x有关的放缩等.
利用基本不等式进行放缩
与ex，ln x有关的放缩
已知函数f（x）＝ex－x－1.
（1）求证：f（x）≥0；
证明： f'（x）＝ex－1，当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）min＝f（0）＝0，所以f（x）≥0.
（2）当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋ cs x－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.
证明：令g（x）＝ex－mx＋ cs x－2，则g'（x）＝ex－m－ sin x，由（1）可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，又m≤1，所以g'（x）≥x＋1－1－ sin x＝x－ sin x.令h（x）＝x－ sin x，则h'（x）＝1－ cs x，当x≥0时，h'（x）≥0，所以h（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以当x∈[0，＋∞）时，h（x）≥h（0）＝0，
则g'（x）≥0，g（x）在[0，＋∞）上单调递增，当x∈[0，＋∞）时，g（x）≥g（0）＝0，即ex－mx＋ cs x－2≥0，所以当m≤1时，不等式ex－mx＋ cs x－2≥0在x∈[0，＋∞）上恒成立.
与 sin x， cs x，tan x有关的放缩
已知函数f（x）＝ax－ sin x.
（1）若函数f（x）为增函数，求实数a的取值范围；
解： 因为f（x）＝ax－ sin x，所以f'（x）＝a－ cs x，由函数f（x）为增函数，则f'（x）＝a－ cs x≥0恒成立，即a≥ cs x在R上恒成立.因为y＝ cs x∈[－1，1]，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞）.
（2）求证：当x＞0时，ex＞2 sin x.
解：证明：由（1）知，当a＝1时，f（x）＝x－ sin x为增函数，当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0⇒x＞ sin x，要证当x＞0时，ex＞2 sin x，只需证当x＞0时，ex＞2x，即证ex－2x＞0在（0，＋∞）上恒成立.设g（x）＝ex－2x（x＞0），则g'（x）＝ex－2，令g'（x）＝0，解得x＝ln 2，所以g（x）在（0，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（ln 2）＝eln 2－2ln 2＝2（1－ln 2）＞0，所以g（x）≥g（ln 2）＞0，所以ex＞2x成立，故当x＞0时，ex＞2 sin x.
所以当x∈（0，1）时，m'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，m'（x）＞0，所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以m（x）min＝m（1）＝0，即m（x）≥0，所以xln x≥x－1，则f（x）＞2g（x）－1得证.