3.1 导数的概念、运算及几何意义 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2. 通过函数图象直观理解导数的几何意义.3. 能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（形如f（ax＋b））的导数.
提醒：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
提醒：f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数 值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f （x0））'＝0.
3. 基本初等函数的导数公式
（1）[f（x）±g（x）]'＝ ⁠；
（2）[f（x）g（x）]'＝ ⁠；
（4）[cf（x）]'＝ ⁠.
复合函数y＝f（g（x））的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数 间的关系为y'x＝ ⁠.
f'（x）±g'（x）　
f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　
1. 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函 数的导数还是周期函数.2. 函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其 正负号反映了变化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了f（x）图象变化的快 慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（　×　）
（2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）.（　×　）
（4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（　√　）
（5）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（　×　）
2. 下列函数的求导正确的是（　　）
解析： 　（x－2）'＝－2x－3，∴A错误；（x cs x）'＝ cs x－x sin x， ∴B正确；（ln 10）'＝0，∴C错误；（e2x）'＝2e2x，∴D错误.故选B.
3. 函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（　　）
解析： 　由导数的几何意义可知，f'（x）为常数，且f'（x）＜0.
5. （2026·浙江杭州模拟）曲线y＝3x在点（0，1）处的切线方程是 ⁠ ⁠.
解析：由题设y'＝3xln 3，则切线斜率k＝ln 3，所以曲线y＝3x在点（0， 1）处的切线方程是y－1＝ln 3·（x－0），即xln 3－y＋1＝0.
导数的基本概念（基础自学过关）
1. 设f（x）在x＝x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　）
2. 函数f（x）的图象如图所示，f'（x）为函数f（x）的导函数，下列数 值排序正确的是（　　）
3. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却 和加热.已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15 （其中0≤x≤8）.则第2 h～4 h中，原油温度的平均变化率为 ⁠ ，第6 h时原油温度的瞬时变化率为 ，在第6 h附近原油的 温度在 （填“上升”或“下降”）.
求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤
导数的运算（基础自学过关）
1. 〔多选〕下列求导正确的是（　　）
4. 已知f（x）＝x（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋2 026，则f' （0）＝ ⁠.
解析：令g（x）＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4），则f（x）＝ xg（x）＋2 026，所以f'（x）＝g（x）＋xg'（x），所以f'（0）＝g （0）＝1×2×3×4＝24.
（1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求 导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
（2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记 错记混；
（3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量， 确定复合过程，然后求导.
提醒：当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把 待定系数看成常数，再根据题意求解即可.
导数的几何意义及应用（定向精析突破）
（2）〔多选〕（2026·陕西商洛模拟）过点（1，0）向曲线y＝x3－x作切 线，则切线方程可能是（　AC　）
1. 求在切点P（x0，f（x0））处曲线的切线方程
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P （x0，f（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
2. 求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程
（1）设切点坐标P'（x1，f（x1））；
（2）写出在点P'（x1，f（x1））处的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x －x1）；
（3）将点P（x0，y0）代入求x1的值，再代入得所求切线方程.
提醒：注意“过”与“在”的区别，前者不一定为切点，而后者一定 为切点.
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处 的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标 是 ⁠.
　　求切点坐标的一般步骤
考向3　求参数的值（范围）
（2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切 线，则a＝ ⁠.
利用导数的几何意义求参数的基本方法
　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程 （组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围.
提醒：（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又 在曲线上.
（2）（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的 切线，则a的取值范围是 ⁠.
（－∞，－4）∪（0，＋∞）　
（时间：60分钟，满分：94分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 下列求导运算正确的是（　　）
4. （2026·广东湛江模拟）已知函数f（x）＝ex＋2x，则曲线y＝f（x） 在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
解析： 　由f（x）＝ex＋2x，得f'（x）＝ex＋2，则f（0）＝1，f'（0） ＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x＋1. 故选B.
5. （2025·北京市第二中学二模）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1－ x）ex的切线有且仅有1条，则a＝（　　）
7. 已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x） 在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g'（x）是g（x）的导函数，则 g'（3）＝ .　
8. 曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 ， ⁠ ⁠.
9. （13分）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a， b∈R）.
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a， b的值；
解：f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）.
（2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
10. 过原点且与曲线y＝x sin x相切的直线有（　　）
11. 若点A（a，a），B（b，eb）（a，b∈R），则A，B两点间距 离｜AB｜的最小值为（　　）
（2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所 围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
15. 〔创新解法〕牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一 种方法.若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，在点Pk（xk，f （xk））处的切线方程为y＝f'（xk）（x－xk）＋f（xk），切线与x轴交 点的横坐标为xk＋1，即函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足 精确度的初始值即函数零点近似解.设函数f（x）＝x2－5，满足x0＝1.应 用上述方法，则x3＝（　　）