第三章 3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 课件2027高考数学一轮总复习

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y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
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3.基本初等函数的导数公式
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
5.复合函数的定义及其导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=__________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数.2.曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.注意“在点P处的切线”,说明点P为切点,点P既在曲线上,又在切线上;“过点P的切线”,说明点P不一定是切点,点P一定在切线上,但不一定在曲线上.3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率.(　 　)(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cs x.(　 　)(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(　 　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是该曲线的切线.(　 　)
y'=3xe-3xln 3-3x+1e-3x
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用导数的运算法则求导.2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时可进行换元.4.对解析式形如f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数的求值问题,解题思路:先求导数f'(x),然后令x=x0,解关于f'(x0)的方程,即可得到f'(x0)的值,进而得到f(x),f'(x),再进行求解.
考点3 导数的几何意义命题角度1　求切线方程【例3】　(1)(人教A版选择性必修第二册P82习题5.2T11改编)若函数f(x)=xln x+2xf'(1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为____________.【解析】　因为f(x)=xln x+2xf'(1),所以f'(x)=ln x+1+2f'(1).令x=1,得f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1,则f(x)=xln x-2x,f(1)=-2,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-2)=-1×(x-1),即y=-x-1.
(2)(2025·湖南郴州三模)已知函数f(x)=x2+2aln x,若函数f(x)在区间(1,2)的图象上存在两条斜率之积为-4的切线,则实数a的取值范围为 (　 　)A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-3,-2)
ex-y-1=0或x-y=0(写出其中一条即可)
方法二　由曲线y=ex与直线y=x+1相切知,曲线y=ex-1与直线y=x相切.由曲线y=ln x与直线y=x-1相切知,曲线y=ln x+1与直线y=x相切,则直线y=x为曲线y=ex-1与y=ln x+1的一条公切线.
1.求曲线的切线方程要分清“在某点处”与“过某点”的不同.过某点的切点坐标未知,要设出切点坐标,根据:①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.2.公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等,且切点既在切线上又在曲线上,列出有关切点横坐标的方程组,通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线,利用两切线重合列方程组求解.
本题通过切线斜率考查导数的几何意义,判断选项C,D是否正确的关键是根据tan xi=xi(i=1,2,3)构造tan x=x,通过转化思想和数形结合思想分析,将计算问题转化为图象问题,减少计算量,体现新高考的变化趋势.
1.(5分)(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)=ex+2x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 (　 　)A.y=2x+1B.y=3x+1C.y=2xD.y=3x解析:由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,则f(0)=1,f'(0)=3,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+1.故选B.
7.(5分)函数f(x)=2+ln x的图象与函数g(x)=ex的图象的公切线的斜率为 (　 　)A.1B.±eC.1或eD.1或e2
8.(5分)若曲线y=(x-a)ex有两条过坐标原点的切线,则实数a的取值范围为(　 　)A.(-∞,0)∪(4,+∞)B.(-∞,0]∪[4,+∞)C.(-∞,0]∪(4,+∞)D.(-∞,0)∪[4,+∞)
12.(5分)(2026·浙江宁波模拟)已知函数f(x)=x(ex+a)+2的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x-3y=0垂直,则a=____.解析:由题意有f'(x)=ex+a+xex=(x+1)ex+a,则f'(0)=1+a.因为函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x-3y=0垂直,所以f'(0)=1+a=-3,所以a=-4.