3.2 导数与函数的单调性 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.3. 会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等.
1. 函数的单调性与导数的关系
2. 利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的 ⁠；第2步，求出导数f'（x）的 ⁠；第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f' （x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性.提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解 时，要坚持“定义域优先”原则.
1. 若函数f（x）在（a，b）内单调递增，则x∈（a，b）时，f'（x） ≥0恒成立；若函数f（x）在（a，b）内单调递减，则x∈（a，b） 时，f'（x）≤0恒成立.2. 若函数f（x）在（a，b）内存在单调递增区间，则x∈（a，b）时， f'（x）＞0有解；若函数f（x）在（a，b）内存在单调递减区间，则x∈ （a，b）时，f'（x）＜0有解.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0. （　×　）
（2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没 有单调性.（　√　）
（3）若在（a，b）内f'（x）≤0且f'（x）＝0的根有有限个，则f（x） 在（a，b）内单调递减.（　√　）
（4）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一 定是增函数.（　×　）
2. 函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图，则下列判断正确的是 （　　）
解析： 　当x∈（－3，0）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－3，0）内单 调递减；当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，2）内单调递 增；当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，故f（x）在（2，4）内单调递减； 当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（4，＋∞）上单调递 增，显然C正确，其他选项错误.
3. 函数f（x）＝ cs x－x在（0，π）内的单调性为（　　）
解析： 　因为在区间（0，π）内，f'（x）＝－ sin x－1＜0恒成立，所以 f（x）在（0，π）内单调递减.故选D.
4. 函数f（x）＝xln x的单调递减区间为（　　）
5. 若函数f（x）＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围 是 ⁠.
解析：f'（x）＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2＋12a≤0， 解得－3≤a≤0.
函数的单调性（定向精析突破）
考向1　不含参函数的单调性
（1）已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图，则f （x）的图象可能是（　C　）
解析： 由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f （x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减； 当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C.
利用导数求函数单调区间的方法
（1）当导函数不等式可解时，解导函数不等式，求出单调区间；
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，确定各区间f'（x）的符 号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征， 利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及 “或”连接，只能用“，”“和”隔开.
考向2　含参函数的单调性
（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨 论f（x）的单调性.
研究含参函数单调性的思路
（1）研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类 讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间 的大小关系等；
（2）划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
训练1 （1）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是（　　）
函数单调性的简单应用（定向精析突破）
由函数的单调性比较大小的方法
（1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调 性，然后根据单调性比较大小；
（2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅 助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.
（2）（2026·山东齐鲁名校大联考）已知y＝exf（x）是定义在R上的偶函 数，且当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，则满足ex－2f（2x－3）＞f（x －1）的x的取值范围是 ⁠.
利用函数的单调性解不等式的关键
（1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征， 合理地构造新函数；
（2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性， 借用导数，判断函数的单调性；
（3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通 过解不等式（组），得到未知数的取值范围.
考向3　已知函数单调性求参数
解析： 函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x.若f（x）存在单 调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在 （－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g （0）＝－1，故a＜－1.故选C.
（2）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在 区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　C　）
根据函数单调性求参数的一般思路
（1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f' （x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；
（2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
（3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于 0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f' （x）＝0，则参数可取这个值.
提醒：当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该 区间上有解问题.
训练2 （1）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且 a＞b，则（　B　）
解析： 由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝ xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g （a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B.
（2）设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－ cs x，则不 等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　D　）
解析： 根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－ cs x，此时有f'（x）＝ex＋ sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函 数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0⇒f（2x－1） ＞－f（x－2）⇒f（2x－1）＞f（2－x）⇒2x－1＞2－x，解得x＞1， 即不等式的解集为（1，＋∞）.
（3）（2026·四川模拟预测）已知函数f（x）＝x2＋（x－2）ex－2x＋5 在区间（3m－1，m＋2）上不单调，则m的取值范围是 ⁠.
　　在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半 功倍的效果.
〔多选〕下列函数中，在区间（0，＋∞）上是先减后增函数的有 （　AD　）
（时间：60分钟，满分：92分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 函数f（x）＝xln x＋1的单调递减区间是（　　）
2. 函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f （x）的图象可能是（　　）
解析： f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0 的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合.
5. 已知函数f（x）＝x3＋2x－ sin x，若f（2a2）＋f（a－1）≤0，则实 数a的取值范围为（　　）
（－∞，0）∪（4，＋∞）　
8. 已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数； ②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的 一个解析式为f（x）＝ .（答案不唯一）
①若a≥0，则当0＜x＜3时，f'（x）＞0，当x＞3时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减；
②若－3＜a＜0，由f'（x）＜0，得0＜x＜－a或x＞3，由f'（x）＞0，得 －a＜x＜3，∴f（x）在（0，－a），（3，＋∞）上单调递减，在（－a，3）上单调 递增；
③若a＝－3，则f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减；
④若a＜－3，由f'（x）＜0，得0＜x＜3或x＞－a，由f'（x）＞0，得3＜x＜－a，∴f（x）在（0，3），（－a，＋∞）上单调递减，在（3，－a）上单调 递增.
11. （2026·四川成都调研）已知函数f（x）＝ex－e－x－2x＋1，则不等 式f（2x－3）＋f（x）＞2的解集为（　　）
14. （15分）（2026·福建厦门模拟）已知函数f（x）＝aln x－ax－3 （a∈R）.（1）求函数f（x）的单调区间；