2027届高考数学一轮总复习3.1导数的概念及运算（课件）

这是一份2027届高考数学一轮总复习3.1导数的概念及运算（课件），共89页。PPT课件主要包含了考情清单，导数的概念，瞬时变化率，nxn－1，cosx，－sinx，axlna，Cf′x，答案D，变式训练等内容，欢迎下载使用。
【命题形式】本章知识内容丰富，题目难度跨度较大，出题形式常常是一大一小．重点考查内容有：①利用导数的几何意义求曲线的切线方程；②利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题；③利用导数解决不等式恒成立问题、不等式证明问题；④利用导数研究函数零点问题．在复习备考中要注重练习含参问题的讨论、恒成立问题的转化以及有关不等式证明问题的处理方法．重视数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程思想的应用．
第一讲　导数的概念及运算
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　导数的概念与导数的运算1．函数的平均变化率
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝__________________.
3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝______(C为常数)；(2)(xn)′＝_________(n∈Q*)；(3)(sin x)′＝_________；(4)(cs x)′＝___________；(5)(ax)′＝_________；(6)(ex)′＝______；(7)(lgax)′＝______；(8)(ln x)′＝______.
4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_________________.(2)[f(x)·g(x)]′＝__________________________.特别地：[C·f(x)]′＝___________(C为常数)．
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
5．复合函数的导数复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为________________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
yx′＝yu′·ux′
知识点二　导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为_____________________________.
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
归 纳 拓 展1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　)
(4)(2x)′＝x·2x－1.(　　)(5)[ln(－x)]′＝(ln x)′.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
[解析]　(1)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．(2)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的导函数值，而[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，即[f(x0)]′＝0.
题组二　走进教材2．(选择性必修2P75T1改编)下列函数的求导正确的是(　　)
3．(选择性必修2P81习题T6改编)已知f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)＝x3＋[f′(1)＋f′(2)]x，则f(x)＝(　　)A．x3－15xB．x3＋15xC．x3＋9xD．x3－9x[答案]　A[解析]　因为f(x)＝x3＋[f′(1)＋f′(2)]x，所以f′(x)＝3x2＋f′(1)＋f′(2)，故f′(1)＝3＋f′(1)＋f′(2)，f′(2)＝12＋f′(1)＋f′(2)，则f′(2)＝－3，f′(1)＝－12，故f(x)＝x3－15x.故选A.
题组三　走向考场4．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________.[答案]　4[解析]　解法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0,5)，因为切点(0,5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4.
5．(多选题)(2026·陕西商洛模拟)过点(1,0)向曲线y＝x3－x作切线，则切线方程可能是(　　)A．2x－y－2＝0B．3x－y－3＝0C．x＋4y－1＝0D．2x＋y－2＝0[答案]　AC
考点突破 · 互动探究
导数的基本运算——自主练透
1．(多选题)下列求导正确的是(　　)A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
D．sin 2x＝cs 2x[答案]　AB
2．求下列函数的导数．(1)y＝x2sin x；
[解析]　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cs x.
3．(2026·常州质检)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x，则f′(2)的值为________.
名师点拨：导数的运算方法1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
导数的几何意义——多维探究
角度1　求切线的斜率或切线方程
A．2x－2y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．2x－y＋1＝0[答案]　C
[答案]　x－ey＝0
名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型1．在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．2．在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
角度2　导数的几何意义如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)－3f′(3)＝(　　)A．1B．0C．2D．4[答案]　A
角度3　求参数的值(或范围)
A．1B．0C．－1D．－2[答案]　C
2．(角度2)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝(　　)A．2B．1C．－2D．－1[答案]　C
3．(角度3)(2026·开封市第一次模拟考试)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)[答案]　B
名师讲坛 · 素养提升
公切线问题的模型求解曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂．方法更灵活，具体的求解方法如下：方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2025·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(　　)
[引申]本例中两曲线公切线方程为________________．[答案]　y＝2x＋1－ln 2
【变式训练】(2026·河北邯郸期中)已知函数f(x)＝mx＋ln x，g(x)＝x2－mx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)存在公切线，则实数m的最大值为________.
提能训练　练案[15]
A组基础巩固一、单选题
A．0B．2C．－2D．－4[答案]　C
2．(2026·甘肃白银三模)如果质点按规律s(t)＝2t2－t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在2 s末的瞬时速度为(　　)A．8 m/sB．7 m/sC．6 m/sD．5 m/s[答案]　B
A．x＋πy＋π＝0B．x＋πy－π＝0C．2x＋πy－π＝0D．x＋π2y－π＝0[答案]　C
5．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)A．2f′(2)