2.10 函数模型及其应用 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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1. 了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2. 理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3. 能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
1. 几种常见的函数模型
2. 三种函数性质比较
提醒：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝2x的函数值恒比y＝x2的函数值大.（　×　）
（2）幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.（　×　）
（3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（　×　）
2. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在下列四个函数模型中，最能反映x，y函数关系的是（　　）
解析： 　作出散点图如图所示，由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，故y＝a＋lgbx最能反映x，y的函数关系.
3. 某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（　　）
解析： 　∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当0≤t≤3时，随着t的增大c的增长速度越来越快，c关于t的函数图象下凹.又后3年年产量保持不变，∴当3＜t≤6时，c随着t的增大保持固定的增长速度.故选A.
4. 某商品在最近30天内的价格f（t）与时间t（单位：天）的函数关系是f（t）＝t＋10（0＜t≤30，t∈N），销售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－t＋35（0＜t≤30，t∈N），则这种商品的日销售金额的最大值是 ⁠.
用函数图象刻画实际问题的变化过程（基础自学过关）
1. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是（　　）
解析： 　开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.故选D.
2. 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f（x）的图象是（　　）
3. 〔多选〕血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是（　）
解析： 　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第1次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.
用函数图象刻画变化过程的2种方法
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
已知函数模型解决实际问题（师生共研过关）
（1）（2025·北京高考9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klg2N（单位：小时），其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　B　）
解析： 由题意得训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时，即k·lg2（1.024×109）－k·lg2106＝k·lg21 024＝10 k＝20，解得k＝2，则T＝2lg2N. 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加2 lg2（4.096×109）－2lg2（1.024×109）＝2lg24＝4小时，故选B.
根据给定函数模型解决实际问题的技巧
（1）认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数；
（2）根据已知条件，确定模型中的待定系数；
（3）分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题.
训练1 （1）异速生长规律描述生物的体重与其他生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α＝（　D　）
构建函数模型解决实际问题（师生共研过关）
（1）（2026·重庆调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量大于或者等于20 mg且小于80 mg认定为饮酒驾车，大于或者等于80 mg认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL. 如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数.参考数据：lg 3≈0.48，lg 7≈0.85）
（2）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x m，当x取何值时，总造价y（单位：元）最低，并求出最低总造价.
构建函数模型解决实际问题的步骤
（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理与运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
（3）评价与解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价与解释，并返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.
训练2 （2025·江苏苏州期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.（1）当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
（时间：60分钟，满分：85分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2025·湖南衡阳一模）有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘.假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x（单位：小时），货船距石塘的距离为y（单位：千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是（　　）
解析： 　分析图象可知选项A正确.故选A.
2. 如图是根据国家卫生健康委员会2025年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长）的中位数散点图，下列可近似刻画身高y（单位：cm）随年龄x（单位：岁）的变化规律的函数模型是（　　）
解析： 　对于A，由题中散点图知身高y随时间x的变化不是线性增长，故A错误；对于B，y随x的增长越来越慢，且在x＝0时有意义，符合题图，故B正确；对于C，指数函数模型中y随x的增长越来越快，与题图不符合，故C错误；对于D，对数函数模型在x＝0时没有意义，故D错误.故选B.
3. 〔一题多解〕当2＜x＜4时，2x，x2，lg2x的大小关系是（　　）
解析： 　法一　在同一坐标系中画出函数y＝lg2x，y＝x2，y＝2x的图象如图所示，在区间（2，4）内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝lg2x的图象，∴x2＞2x＞lg2x.故选B.
法二　取x＝3，经检验知B正确.故选B.
4. （2026·辽宁沈阳模拟）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若多出的部分为A万元，则多出的部分按lg5（2A＋1）进行奖励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（　　）
5. （2025·湖北武汉部分学校调研）某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（单位：mg/L）与时间t（单位：h）的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6个小时共能过滤掉污染物的（　　）
6. 〔多选〕（2026·辽宁名校联盟模拟）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量E（单位：焦耳）与里氏震级M的对应关系为lg E＝4.8＋1.5M，则（　　）
（2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该专营店一年的利润L最大，并求出L的最大值.
10. （2026·福建福州模拟）当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少，另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者分别注射800 mg药品A和500 mg药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（　　）
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　）
12. （2026·辽宁葫芦岛模拟）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，现有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折，若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5 000元减1 000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为 元.
13. （15分）（2025·广西南宁月考）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质.省环保局于2024年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2025年2月底测得蒲草覆盖面积为36 m2，2025年3月底测得蒲草覆盖面积为48 m2，蒲草覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）与y＝mx2＋n（m＞0）可供选择.（1）分别求出两个函数模型的解析式；
（2）若2024年年底测得蒲草覆盖面积为20 m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到810 m2.（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）