2.9 函数的零点与方程的解 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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1. 了解函数零点与方程的解的联系.2. 了解函数零点存在定理，并能简单应用.3. 了解用二分法求方程的近似解.
（1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使 的实数x叫做函数y＝f（x）的零点；
（2）等价关系：方程f（x）＝0有实数解⇔函数y＝f（x）有 ⁠⇔函数y＝f（x）的图象与 .　
提醒：函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.
2. 函数零点存在定理
（1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；② ＜0.
（2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得 ，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
提醒：函数零点存在定理只能判断变号零点存在，不能确定零点的个数.
（1）定义：对于在区间[a，b]如图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法；
（2）用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
②求区间（a，b）的中点c；
③计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
（ⅰ）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
（ⅱ）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；
（ⅲ）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c；
④判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④.
1. 若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.2. 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.3. 周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点.4. 由函数y＝f（x）（图象是连续不断的）
在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）·f（b）＜0，如图所示，所以f（a）·f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）＝2x的零点为0.（　√　）
（2）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.（　×　）
（3）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0.（　×　）
（4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.（　×　）
2. 下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是（　　）
解析： 　根据二分法的概念知，选项C不能用二分法求零点.
5. 若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（　　）
函数零点所在区间的判定（师生共研过关）
（2）已知函数f（x）＝lgax＋x－b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝ 　2 　.
解析：对于函数y＝lgax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝lgax，y＝－x＋b的图象，可以判断两个函数图象的交点的横坐标在（2，3）内，故n＝2.
函数零点所在区间的判断方法
（1）定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形；
（2）图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，适用于容易画出函数图象的情形.
（2）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　A　）
解析： 函数y＝f（x）是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0.所以f（a）f（b）＜0，f（b）f（c）＜0，即f（x）在区间（a，b）和区间（b，c）内各有一个零点.
函数零点个数的判定（师生共研过关）
（1）函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点个数是（　A　）
解析： 令f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜＝0，得x2－x＝0或ln｜2x－3｜＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f（x）在区间[－2，2]上的零点个数为3，故选A.
（2）〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是 ⁠.
解析：法一 ∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.
判断函数零点个数的3种方法
（1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，f（x）就有多少个零点；
（2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
（3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
训练2 （1）函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f（x）＝x2－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为（　B　）
解析： 令f（x）＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f（0）＝0，f（1）＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f（2）＝0，f（3）＝0，f（－2）＝0，f（－1）＝0，f（－3）＝0，所以函数y＝f（x）的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.
（2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，则方程f（x）＝｜lg9x｜的实根的个数为（　C　）
解析： 由奇函数可知f（2－x）＝f（x）＝－f（－x），即f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由f（2－x）＝f（x），得f（x）的图象关于直线x＝1对称，作出函数y＝｜lg9x｜与函数y＝f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5.
函数零点的应用（定向精析突破）
考向1　根据函数零点个数求参数
（2）（2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）＝ cs x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点.则a＝（　D　）
解析：令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－ cs x，x∈（－1，1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－x）2＋a－1－ cs （－x）＝ax2＋a－1－ cs x＝h（x），则h（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a－2＝0，解得a＝2，故选D.
考向2　根据函数零点所在区间求参数
利用函数零点求参数的方法
（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 函数y＝（x－2）（2x＋1）的零点是（　　）
解析： 　由题意令y＝（x－2）（2x＋1）＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以x－2＝0，即x＝2.故选A.
3. （2026·重庆检测）已知函数f（x）＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f（x）的零点的一个近似值（精确度为0.1）为（　　）
解析： 　易知f（x）在[0，1]上单调递增，由表格得f（0.562 5）f（0.625）＜0，且｜0.625－0.562 5｜＝0.062 5＜0.1，∴函数零点在（0.562 5，0.625）内，∴根据选项可知，函数f（x）的零点的一个近似值为0.57.
6. 〔多选〕（2026·广东湛江调研）已知函数f（x）＝｜2x－1｜－a，g（x）＝x2－4｜x｜＋2－a，则（　　）
解析： 　作出y＝｜2x－1｜，y＝x2－4｜x｜＋2的大致图象，如图所示.由图可知，当g（x）有2个零点时，f（x）无零点或只有1个零点；当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点；当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点.
8. 若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝ ⁠.
9. （13分）函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.（1）求b，c的值；
（2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），（2，4）内，求m的取值范围.
10. 设f（x）＝ex＋ln x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）.设函数f（x）的零点为x0，则（　　）
解析： 　因为f（x）＝ex＋ln x在（0，＋∞）上单调递增，且0＜a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c）.因为f（a）f（b）f（c）＜0，所以f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0或f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0.若f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，由函数零点存在定理可知x0∈（a，b）；若f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，由函数零点存在定理可知x0∈（c，＋∞）.综上所述，x0＞a，故选B.
11. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－3，3]上的零点个数至少为（　　）
12. 〔多选〕（2025·湖南怀化一模）已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则（　　）
13. （2026·浙江杭州质检）若函数f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围为 ⁠.
解析：由题意，函数y＝e－x与g（x）＝ln（x＋a）的图象在（0，＋∞）上有交点，当a＞0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象可得只需要g（0）＝ln a＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向右平移｜a｜个单位长度得到的，此时在（0，＋∞）上恒有交点，满足条件，综上可得：a＜e，即实数a的取值范围是（－∞，e）.
14. （15分）（2025·甘肃天水模拟）已知函数f（x）＝lg2（2＋x）－lg2（2－x）.
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）＝lg2（a＋x）有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.