2.5 幂函数与二次函数 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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1. 通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2. 掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数；
（2）常见的五种幂函数的图象
①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；
②当α＞0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在（0，＋∞）上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点 ，且在（0，＋∞）上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为 ，当α为偶数时，y＝xα为 ⁠ ⁠.
2. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：f（x）＝ （a≠0）；
（2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0），顶点坐标为 ⁠ ⁠；
（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的 ⁠.
3. 二次函数的图象和性质
提醒：注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.
1. 幂函数的性质（1）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小，其图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大，其图象越远离x轴（简记为“指大图高”）；（2）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限；（3）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除（1，1），（0，0），（－1，1），（－1，－1）外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点；
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增.（　√　）
（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（　×　）
（4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（　√　）
4. 若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（　　）
解析： 　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减.不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0，综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D.
5. 已知y＝f（x）为二次函数，若y＝f（x）在x＝2处取得最小值－4，且y＝f（x）的图象经过原点，则函数解析式为 ⁠.
解析：由题意，可设f（x）＝a（x－2）2－4（a＞0），又图象过原点，所以f（0）＝4a－4＝0，a＝1，所以f（x）＝（x－2）2－4＝x2－4x.
f（x）＝x2－4x　
幂函数的图象与性质（基础自学过关）
1. （2026·福建福州模拟）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式可能是（　　）
2. 〔多选〕（2026·辽宁葫芦岛质检）已知函数f（x）＝xα（α为常数），则下列说法正确的是（　　）
3. 已知幂函数f（x）＝（3m2＋m－1）xm为偶函数，且a＝f（－2），b＝f（e），c＝f（1），则（　　）
4. （2025·广东广州模拟预测）若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围为 ⁠.
1. 对于幂函数的图象，只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
二次函数的解析式（师生共研过关）
〔一题多解〕已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式.
法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），即f（x）＝ax2－ax－2a－1.
解得a＝－4或a＝0（舍去），故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
训练1 （1）已知f（x）为二次函数，且f（x）＝x2＋f'（x）－1，则f（x）＝（　B　）
（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝ 　x2－4x＋3 　.
解析： （零点式）　因为f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，所以f（x）的对称轴为x＝2.又因为f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0）.又因为f（x）的图象经过点（4，3），所以3a＝3，a＝1.所以所求二次函数的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），即f（x）＝x2－4x＋3.
二次函数的图象与性质（定向精析突破）
考向1　二次函数的图象
（1）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，则（　C　）
（2）〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象的对称轴为x＝－1.则下面四个结论中正确的为（　AD　）
识别二次函数图象应学会“三看”
考向2　二次函数的单调性与最值
已知函数f（x）＝x2－tx－1，若x∈[－1，2]，求f（x）的最小值g（t）.
　　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
训练2 （1）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　D　）
解析： A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意，故选D.
（2）（2026·浙江宁波模拟）已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　C　）
解析：由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得0≤a≤4.
关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围.
（1）一个根小于2，一个根大于4；
解：令f（x）＝x2＋（m－3）x＋m.
（2）有两个不相等的正根；
（3）一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内；
（4）两个不相等的根都在（0，2）内.
（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
解析： 　由题意可得α＞0且α为奇数，所以α＝3，故选B.
3. 若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则g（x）的解析式为（　　）
4. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函数f（x）的图象可能是（　　）
解析： 由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A、C；又f（0）＝c＜0，排除B. 故选D.
5. 已知m＞1，点（1－m，y1），（m，y2），（m＋1，y3）都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则（　　）
解析： 　二次函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，其图象的对称轴方程为x＝1，而（1－m）＋（1＋m）＝2，所以y1＝y3，当x＞1时，函数单调递增，因为m＞1，所以m＋1＞m＞1，所以y2＜y3，综上，y2＜y1＝y3.
6. 〔多选〕已知幂函数f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3，m∈N*，则下列结论正确的有（　　）
7. 已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围为 ⁠.
解析：二次函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），即f（x）在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为（－∞，0]∪[3，＋∞）.
（－∞，0]∪[3，＋∞）　
（2）求满足（2a＋1）－m＜（3－2a）－m的实数a的取值范围.
11. 函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是（　　）
解析： 解方程x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2，2].若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取值范围是[2，4].
12. 〔多选〕（2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是（　　）
13. 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是 ⁠.
解析：关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f（x）＝ax2＋x＋2，若a＞0，则图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈⌀；若a＜0，则函数图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜a＜0.综上可得a的取值范围是（－3，0）.
14. （15分）（2026·福建福州模拟）已知二次函数f（x）＝ax2－x＋2a－1.（1）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）若a＞0，设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.