2.2 函数的单调性与最值 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2. 理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义.3. 掌握函数单调性的简单应用.
f（x1）＜f
f（x1）＞f（x2）　
（2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上 ⁠或 ，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性， 叫做y＝f（x）的单调区间.提醒：（1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
f（x0）＝
提醒：（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
3. 函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则：
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（　×　）
（3）若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞）.（　×　）
（4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（　×　）
（5）若函数f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上一定有最值.（　√　）
3. 已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（　　）
解析： 　由图象知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，故选B.
4. 〔多选〕下列函数在（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
函数的单调性（师生共研过关）
（1）〔多选〕下列说法中正确的是（　　）
1. 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2. 函数单调性的判断方法（1）定义法；（2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；（4）导数法.提醒：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不能用“∪”.
训练1 （1）（2026·山西临汾适应性考试）下列函数中，满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的是（　B　）
函数单调性的应用（定向精析突破）
考向1　比较函数值的大小
利用单调性比较函数值大小的方法
　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中间值法比较大小.
已知函数f（x）＝ln x＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范围是 ⁠.
考向3　求参数的值（范围）
利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法
（1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解；
（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
训练2 （1）若f（x）是定义在（－∞，0]上的减函数，则不等式f（2x＋3）≤f（x＋1）的解集为（　A　）
（2）（2026·四川外国语大学附中模拟）若函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围为 ⁠.
解析：因为函数f（x）＝4｜x－a｜＋3在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增.又函数f（x）在区间[1，＋∞）上不单调，所以a＞1.
函数的值域（最值）（师生共研过关）
〔多选〕下列函数的值域正确的是（　　）
解析： 　对于A，y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，由x∈[0，3），再结合函数的图象（如图1所示），可得函数的值域为[2，6）.
求函数最值（值域）的常用方法
（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）数形结合法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题；
（4）换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行“变量代换”；
（5）分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和（差）的形式.
（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（　　）
2. 若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1）的大小关系是（　　）
解析： 因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，所以f（m）＞f（1）.故选B.
3. 函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜的单调递增区间是（　　）
6. 〔多选〕已知函数f（x）在R上是增函数，g（x）在R上是减函数，则下列说法正确的是（　　）
8. 已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1），B（3，1）是其图象上的两点，则｜f（x＋1）｜＜1的解集为 ⁠.
解析：由题意可知，f（0）＝－1，f（3）＝1，因为函数f（x）是R上的增函数，所以由｜f（x＋1）｜＜1得－1＜f（x＋1）＜1，即f（0）＜f（x＋1）＜f（3），因此0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2，即｜f（x＋1）｜＜1的解集为（－1，2）.
（2）证明函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，并判断f（x）在（1，＋∞）上的单调性.
14. （15分）（2026·安徽皖江名校联考）定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足：①当x＞1时，f（x）＞0；②对任意实数x，y都有f（x·y）＝f（x）＋f（y）.　（1）证明：当0＜x＜1时，f（x）＜0；
（2）判断f（x）在（0，＋∞）上的单调性；
（3）解不等式f（x＋1）＋f（2x－3）＞0.
15. 〔创新设问〕已知函数f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（　　）