2.7 对数与对数函数 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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1. 理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2. 通过具体实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点.3. 知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且 a≠1）.
2. 对数函数及其性质
（1）定义：函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是 ⁠；
提醒：对数函数y＝lgax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x ＞0；③系数为1.
提醒：当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情 况进行讨论.
3. 反函数指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝lgax（a＞0，且 a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
3. 对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）lg2x2＝2lg2x.（　×　）
（2）函数y＝lg2（x＋1）是对数函数.（　×　）
（3）对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数. （　×　）
（4）函数y＝lga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1， 2）.（　×　）
3. 下列运算正确的是（　　）
4. 设a＝lg0.26，b＝lg0.36，c＝lg0.46，则a，b，c的大小关系为 （　　）
解析： 　如图，作出函数y1＝lg0.2x，y2＝lg0.3x， y3＝lg0.4x的大致图象，由图可知，当x＝6时，lg0.26 ＞lg0.36＞lg0.46，即a＞b＞c.
5. 已知lg0.7（2m）＜lg0.7（m－1），则m的取值范围是 ⁠ ⁠.
解析：因为y＝lg0.7x的定义域为（0，＋∞），且是减函数，故2m＞m －1＞0，解得m＞1.
对数的运算（基础自学过关）
1. 若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则lg4（abc）＝（　　）
2. （2025·山东临沂二模）已知实数x，y满足lg2（lg3x）＝lg3 （lg2y）＝1，则x＋y＝（　　）
（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数 指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并；
（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的 运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算；
（3）ab＝N⇔b＝lgaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的 有效方法，在运算中应注意互化.
对数函数的图象及应用（师生共研过关）
（2）已知函数f（x）＝｜lg3x｜，若a＜b，且f（a）＝f（b），则a ＋4b的取值范围是（　D　）
对数函数图象的识别及应用
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特 殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项；
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用 数形结合法求解.
训练1 （1）已知函数f（x）＝lga（x－b）（a＞0且a≠1，a，b为常 数）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　D　）
解析： 因为函数f（x）＝lga（x－b）为减函数，所以0＜a＜1，又因 为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以1＋b＞0，即b＞－1，又因为函 数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D.
对数函数的性质及应用（定向精析突破）
考向1　比较对数值的大小
（1）（2025·湖南长沙部分学校月考）设a＝lg43，b＝lg53，c＝ lg45，则（　D　）
（2）〔多选〕（2026·黑龙江龙东联盟联考）已知2a＝3b＝6，则a，b满 足（　AD　）
（1）当底数为同一数字时，可由对数函数的单调性比较大小；
（2）当底数为同一字母时，需对底数进行分类讨论；
（3）当底数不同，真数相同时，先用换底公式化为同底后，再进行比较；
（4）当底数与真数都不同时，可借助1，0等中间值比较大小.
考向2　解简单的对数方程或不等式
（1）方程lg2（x－1）＝2－lg2（x＋1）的解为 ⁠；
求解对数不等式的两种类型及方法
（1）lgax＞lgab：借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定， 需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
（2）lgax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax 的单调性求解.
训练2 （1）（2025·浙江金华十校二模）已知a＝lg32，b＝lg54，c＝ lg98，则（　D　）
（2）不等式lgx（x＋2）＞1的解集是（　B　）
对数型函数性质的综合问题（师生共研过关）
教材母题：〔人A必修一P161复习参考题11题〕已知函数f（x）＝lga （x＋1），g（x）＝lga（1－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）＋g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）＋g（x）的奇偶性，并说明理由.
解：函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数，理由如下：令h（x）＝f（x）＋g（x）＝lga（x＋1）＋lga（1－x）.又h（－x）＝f（－x）＋g（－x）＝lga（－x＋1）＋lga（1＋x）＝lga（x＋1）＋lga（1－x）＝f（x）＋g（x）＝h（x），则∀x∈（－1，1），有h（－x）＝h（x）成立，故函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数.
变式1 已知函数f（x）＝lga（x＋1），g（x）＝lga（1－x）（a＞ 1），则函数f（x）＋g（x）的单调递增区间为 ；值域 为 ⁠.
解析：令h（x）＝f（x）＋g（x）＝lga（x＋1）＋lga （1－x）＝lga（1－x2），定义域为（－1，1）.设t＝1 －x2，x∈（－1，1），则h（x）＝lgat.函数t＝1－x2的 图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝0，所以t＝1－x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.当a＞1时，对数函数y＝lgat在（0，＋∞）上单调递增.根据复合函数“同增异减”的原则，h（x）＝lga（1－x2）在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.画出函数h（x）＝lga（1－x2）的大致图象，如图，由图易知h（x）的值域为（－∞，0].
　　求解与对数型函数有关的综合问题时，必须弄清的三个方面：一是定 义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是 复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时 需注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
训练3 （1）（2025·江西一模）若函数f（x）＝lg0.1（12－ax）在区间 （3，6）上单调递增.则a的取值范围是（　D　）
解析： f（x）＝lg0.1（12－ax）在区间（3，6）上单调递增，令t＝12－ ax，则t＝12－ax在区间（3，6）上单调递减且恒为正，所以a＞0且12－ 6a≥0，所以0＜a≤2.故选D.
互为反函数的两个函数图象间的关系
　　通过人A必修一P135探究与发现我们知道指数函数y＝ax（a＞0，且 a≠1）与对数函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象 关于直线y＝x对称.也就是说，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象 上任意一点P（x0，y0）关于直线y＝x的对称点Q（y0，x0）在对数函数 y＝lgax（a＞0，且a≠1）的图象上.
（1）若关于x的方程x＋lg5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m ＋n＝（　D　）
解析： 由题意，可知lg5x＝－x＋4，5x＝－x＋4， 且函数y＝lg5x与y＝5x互为反函数，对应的图象关于 直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝－x＋4垂直， 所以两函数图象与直线y＝－x＋4的交点A，B关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋4的交点为C，则C（2，2），A，B两点的横坐标分别为m，n，因此m＋n＝4.
（2）已知方程ax＝lgax（a＞1）有且仅有一个实数根，则实数a ＝ ⁠.
（时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f （2）＝1，则f（x）＝（　　）
解析： 　由题意得，f（x）＝lgax（a＞0，且a≠1），因为f（2）＝ 1，所以lga2＝1，所以a＝2，所以f（x）＝lg2x.
2. （2026·江苏无锡天一中学月考）下列各式运算正确的是（　　）
6. 〔多选〕已知函数f（x）＝lg2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有 下列说法，其中正确的为（　　）
解析： 　函数f（x）的定义域为（－1，1），关于原点对称，由f（－ x）＝lg2（1－｜－x｜）＝lg2（1－｜x｜）＝f（x），得f（x）＝lg2 （1－｜x｜）为偶函数，图象关于y轴对称，所以A错误，B正确；根据f （x）的图象（图略）可知D错误；因为1－｜x｜≤1，所以f（x） ≤lg21＝0，故C正确.
9. （13分）已知a＞0，a≠1且lga3＜lga2，函数y＝lgax在区间[a， 3a]上的最大值与最小值之差为1.
10. 已知函数f（x）＝lg2（x＋2），若a＞b＞c＞0，则（　　）
11. 若不等式（x－1）2＜lgax（a＞0且a≠1）在x∈（1，2]内恒成立， 则实数a的取值范围为（　　）
解析： 　若0＜a＜1，此时x∈（1，2]，lgax＜0，而 （x－1）2＞0，故（x－1）2＜lgax无解；若a＞1，此 时x∈（1，2]，lgax＞0，而（x－1）2＞0，令f（x） ＝lgax，g（x）＝（x－1）2，画出函数f（x）与g （x）的图象，如图，由不等式（x－1）2＜lgax在x∈（1，2]内恒成立，则lga2＞1，解得a∈（1，2）.
13. 〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷8题改编）设函数f（x）＝（x＋ a）·ln（x＋b）.若f（x）≥0，则a2＋b2的最小值为 ⁠.
14. （15分）已知函数f（x）＝lga（ax2－x）（a＞0，且a≠1）.
（2）若f（x）在区间[2，4]上单调递增，求实数a的取值范围.
15. 〔创新交汇〕设平行于y轴的直线分别与函数y1＝lg2x及y2＝lg2x＋2 的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，如图所示. 若△ABC为正三角形，则m·2n＝ ⁠.