2.3 函数的奇偶性与周期性 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

这是一份2.3 函数的奇偶性与周期性 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用），共71页。PPT课件主要包含了课标要求，夯实必备知识，知识梳理，函数的奇偶性，－fx，函数的周期性，诊断自测，研透核心考点，BCD，－2－x－2x＋1等内容，欢迎下载使用。
1. 了解函数奇偶性的概念和几何意义，了解函数周期性的概念和几何意义.2. 会依据函数的性质进行简单的应用.
（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 ⁠， 那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；
（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 ⁠ 的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.
f（x＋T）＝f（x）　
1. 函数奇偶性常用结论
（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝ 0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；
（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称 的区间上具有相反的单调性；
（3）灵活应用奇函数的两个特殊性质
①若f（x）为奇函数，则f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若f（x）存在 最值，则f（x）min＋f（x）max＝0；
②若F（x）＝f（x）＋c，f（x）为奇函数，则F（－x）＋F（x）＝ 2c.特别地，若F（x）存在最值，则F（x）min＋F（x）max＝2c.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数.（　×　）
（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　×　）
（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期. （　√　）
（4）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y ＝f（x）一定是奇函数.（　×　）
2. 〔多选〕给出下列函数，其中是奇函数的有（　　）
3. 已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝ （　　）
4. （2025·浙江台州一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈ （0，＋∞）时，f（x）＝lg3x，则f（－9）＝（　　）
解析： 　根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞） 时，f（x）＝lg3x，则f（－9）＝－f（9）＝－lg39＝－2.故选B.
5. 已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x） ＝x2＋4，则f（2 026）＝ ⁠.
解析：因为f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3为周期的周期函数， 所以f（2 026）＝f（675×3＋1）＝f（1）＝5.
函数奇偶性的判断（师生共研过关）
判断下列函数的奇偶性：
解： f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称.又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数.
（2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜；
解： f（x）的定义域为R，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜＝｜x －1｜－｜x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.
判断函数的奇偶性包括的两个必备条件
（1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数；
（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算 中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0 （奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.
提醒：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共 定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇 ×偶＝奇.
训练1 （1）〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是 （　B　）
法二（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A， 由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B， y＝ cs x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定 义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝ sin x＋ 4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B.
（2）〔多选〕（2026·广东深圳外国语学校月考）已知函数f（x）＝｜3 －x｜，构造函数g（x）＝f（x）－f（－x），则下列关于函数g（x） 的说法正确的是（　BCD　）
解析： 因为f（x）＝｜3－x｜，所以g（x）＝｜3－x｜－｜3＋x｜， 显然g（x）的定义域为R，且g（－x）＝｜3＋x｜－｜3－x｜＝－g （x），故g（x）是奇函数.对于A，因为g（1）＝f（1）－f（－1）＝ －2，g（－1）＝f（－1）－f（1）＝2，所以g（1）－g（－1）＝－ 4≠4＝g（－1）－g（1），所以g（x）－g（－x）不是偶函数，A错 误；对于B，因为g（－x）＋g（x）＝g（x）＋g（－x），所以g （x）＋g（－x）是偶函数，B正确；对于C，因为g（－x）｜g（－ x）｜＝－g（x）·｜－g（x）｜＝－g（x）｜g（x）｜，所以g （x）｜g（x）｜是奇函数，C正确；对于D，因为g（－x）g（｜－ x｜）＝－g（x）g（｜x｜），所以g（x）g（｜x｜）是奇函数，D正 确.故选B、C、D.
（3）已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f （y）＋2，则函数f（x）＋2为 函数.（填“奇”“偶”或“非奇 非偶”）
解析：由题意得函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y ＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋2，故f（0）＝－2.令y＝－x，则f （0）＝f（x）＋f（－x）＋2，故f（x）＋2＝－f（－x）－2＝－[f （－x）＋2].故f（x）＋2为奇函数.
函数奇偶性的应用（定向精析突破）
考向1　求解析式（参数或值）
（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x－ 2x＋a，则a＝ ；当x＜0时，f（x）＝ ⁠.
解析： 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即 1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f（x）＝2x－2x－1，设x＜0，则－ x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）为奇 函数，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1.
函数奇偶性的应用类型及解题策略
（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇 偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式 （组），从而得到f（x）的解析式；
（2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函 数值求解；
（3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到 关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在x＝0处 有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.
考向2　奇偶性与单调性
（2）已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等 式xf（x－2）＞0的解集为（　D　）
解析： 偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上单调 递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0 ＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0， 1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x －2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空 集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）.
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
（1）比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量 转化到同一单调区间上，进而利用函数的单调性比较函数值的大小；
（2）解抽象函数不等式，先把不等式转化为f（g（x））＞f（h （x）），再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等 式（组）.
解析： ∵函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），则有f （－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，得a＝－1（符合题意）.故选A.
（2）〔多选〕（2026·安徽合肥调研）已知f（x）是定义在R上的偶函 数，g（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），g（x）在（－∞，0]上 单调递减，则（　BD　）
解析： 因为f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的 奇函数，且两函数在（－∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上 单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减， 所以f（1）＜f（2），g（0）＝0＞g（1）＞g（2），所以f（g（1）） ＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g （2）），所以B、D正确，C错误；若｜f（1）｜＞｜f（2）｜，则f（f （1））＞f（f（2）），A错误.
（3）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f （x）－g（x）＝x3＋x2－1，则f（x）＝ ，g（2）＝ ⁠.
解析： 由f（x）－g（x）＝x3＋x2－1　①，得f（－x）－g（－ x）＝－x3＋x2－1，因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶 函数，所以－f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1　②，由①－②，化简得f （x）＝x3，代入①得g（x）＝1－x2，故g（2）＝－3.
函数的周期性（师生共研过关）
（2）已知y＝f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f （x）＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f（x）＝（　B　）
解析： ∵f（x）在R上是周期为4的奇函数，∴f（－x）＝－f （x），由f（x＋4）＝f（x），可得f（x－12）＝f（x），设－ 2≤x≤0，则0≤－x≤2，f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x，当 10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f（x）＝f（x－12）＝－（x－12）2－ 2（x－12）＝－x2＋22x－120.
1. 求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函 数的周期.2. 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等 问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
训练3 （1）函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f （2 025）＝（　C　）
（2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f （x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点个 数为（　C　）
解析： 当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f （x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1；当2≤x＜4时， 0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），所 以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以当2≤x＜4时，y＝f （x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3；又f（4）＝f（2） ＝f（0）＝0，综上可知，共有5个交点.
（3）〔多选〕（2025·广东深圳模拟）已知非常数函数f（x）的定义域为 R，满足f（x＋2）＋f（x）＝0，f（－x）＝－f（x），则 （　ACD　）
解析： 因为f（x＋2）＋f（x）＝0，所以f（x）＝－f（x＋2），f（x ＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，故C 正确；又f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，f（0）＝0，所以 f（2）＋f（0）＝0，即f（2）＝0，故A正确；又f（x）的周期为4，且 为奇函数，所以f（x＋4）为奇函数，故B不正确；因为f（x）的图象关 于点（0，0）对称，所以f（x）的图象也关于点（－4，0）对称，故D 正确.
（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2， 则f（2 025）＝（　　）
解析： 因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f （x）为奇函数，所以f（2 025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－ 1）＝－2，故选C.
4. 设f（x）为R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2－1，则 使f（x）＞0的x的取值范围是（　　）
解析： 　当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2－1，又f （x）为R上的奇函数，作出f（x）的图象如图所示，由图 象可知，若f（x）＞0，则－1＜x＜0或x＞1.
6. 〔多选〕已知f（x）是定义在R上的偶函数，其周期为4，当x∈[0，2] 时，f（x）＝2x－2，则（　　）
解析： 　f（2 026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当 x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值 域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1， 2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，又函数的周 期为4，所以f（x）在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f（x）＝2x－2 ＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所以f （5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6]上 有6个零点，所以D错误.
9. （13分）（2026·宁夏银川模拟）已知函数f（x）是偶函数.当x＞0 时，f（x）＝lgax的图象过点（3，－1）.
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）求不等式f（x）＜1的解集.
10. （2025·湖北武汉二调）函数f（x）满足：f（x＋1）＝f（x）＋f （x＋2），若f（1）＝2，f（11）＝3，则f（2 025）＝（　　）
解析： 　由题意可得：f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x），用x＋1代替x 可得：f（x＋3）＝f（x＋2）－f（x＋1），两式相加得：f（x＋3）＝ －f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）是 以6为周期的周期函数.所以f（11）＝f（5）＝3.又f（5）＝－f（2）， 所以f（2）＝－3.所以f（3）＝f（2）－f（1）＝－3－2＝－5.所以f（2 025）＝f（337×6＋3）＝f（3）＝－5.故选D.
11. 已知函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）－g（－x）＝2x，设函 数f（x）＝g（x）－x，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增.若f （a）－f（2a＋1）＞0，则实数a的取值范围为（　　）
12. 〔多选〕（2026·江苏苏州调研）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋ y）＝f（x）＋f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）满足 （　　）
解析： 　由题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x） ＋f（y），对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），即f（0） ＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0， 即f（－x）＝－f（x），所以y＝f（x）为奇函数，故B正确；对于C， 任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2＋x2）－f （x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2），因为x1＜x2，所 以x1－x2＜0，所以f（x1－x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f （x）在R上是减函数，故C错误；对于D，由f（x－1）＋f（x2－1）＞ 0，可得f（x－1）＞－f（x2－1）＝f（1－x2），由C知函数f（x）在R 上是减函数，所以x－1＜1－x2，解得－2＜x＜1，所以f（x－1）＋f （x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故D正确.
13. 已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）＋ex是偶函数，y＝f （x）－3ex是奇函数，则函数f（x）的最小值为 ⁠.
14. （15分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f （x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2.（1）求证：f（x）是周期函数；
解： 证明：∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.∴f（x）是周期为4的周期函数.
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
解： 当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2.又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2.∴f（x）＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）.又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8.∴当x∈[2，4]时，f（x）＝x2－6x＋8.
（3）计算f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）.
解： f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝－1.又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7） ＝…＝f（2 020）＋f（2 021）＋f（2 022）＋f（2 023）＝0，∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）＝506×[f（0）＋f（1）＋f （2）＋f（3）]＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026）＝0＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026）＝0＋f（0）＋f（1）＋f（2）＝1.