2.6 指数与指数函数 课件-2027年高考数学一轮复习优质课件（全国通用）

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1. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算 性质.2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3. 理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
1. 根式与有理数指数幂
①如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根；
函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量， 定义域是R，a是底数.
提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做 指数型函数，不是指数函数.
3. 指数函数的图象与性质
提醒：指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质跟a的取值有关， 应分a＞1与0＜a＜1来研究.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（3）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（　√　）
（4）函数y＝ax＋2（a＞0，且a≠1）过定点（0，2）.（　×　）
（5）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.（　×　）
3. 下列各式正确的是（式中字母均是正数）（　　）
4. （2026·黑龙江绥化高一月考）已知两个指数函数y＝ax，y＝bx的部分 图象如图所示，则（　　）
解析： 　画出函数y＝ax与y＝bx在第一象限内的图象（图略），可知1 ＜a＜b.
5. 若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝ ⁠.
指数幂的运算（基础自学过关）
1. 已知3a＝2，9b＝36，则a－b＝（　　）
3. 〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　）
指数函数的图象及应用（师生共研过关）
（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列 结论正确的是（　D　）
解析： 由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减 函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向 左平移得到的，所以b＜0.
（2）函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值 范围是 ⁠.
解析： 函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向 下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻 折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一 条直线，图象如图所示，由图象可得，如果函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则m的取值范围是（0，1）.
1. 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入 手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不 确定时应注意分类讨论.2. 有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用指数型函数的图象，数形 结合求解.
训练1 （1）函数y＝e－｜x｜（e是自然对数的底数）的大致图象是（　C　）
（2）〔多选〕（2026·江苏海门模拟）已知实数a，b满足等式2a＝3b， 下列关系式中可能成立的是（　ABD　）
解析： 作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象（如 图），当2a＝3b＞1时，根据图象得0＜b＜a，故A选项 正确；当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项 正确；当2a＝3b＜1时，根据图象得a＜b＜0，故B选项 正确；b＜a＜0不可能成立，故选A、B、D.
指数函数的性质及应用（定向精析突破）
考向1　比较指数式的大小
（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则 a，b，c的大小关系为（　　）
解析： 　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞ 1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞ 0.60.5，故a＞c.∴b＞a＞c.故选D.
（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
（2）不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小.
考向2　解简单的指数方程或不等式
（2）若函数f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一个零点是0，那么它的另一个零 点为 ⁠.
解析： 依题意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f （x）＝4x－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），则函数 化为y＝t2－5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，当t＝1时，得x＝0；当t ＝4时，得x＝2，所以函数f（x）的另一个零点为2.
解指数方程或不等式的依据及方法
（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g （x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a ＜1时，等价于f（x）＜g（x）；
（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂， 再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
（2）（2025·湖北武汉质检）已知p：ax＜1（a＞1），q：2x＋1－x＜2， 则p是q的（　B　）
解析： ∵ax＜1，当a＞1时，y＝ax是增函数，∴p： {x｜x＜0}.对于不等式2x＋1＜x＋2，作出函数y＝2x＋1 与y＝x＋2的图象，如图所示.由图象可知，不等式2x＋1 ＜x＋2的解集为{x｜－1＜x＜0}，∴q：{x｜－1＜x＜ 0}.又∵{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜x＜0}，∴p是q的必要 不充分条件.
指数型函数性质的综合应用（师生共研过关）
（1）探索函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（－∞，－2）∪（1，＋∞）　
　　涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数的相关性 质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时， 都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
训练3 （1）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0， 1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　D　）
（3）若f（x）＝ex－e－x＋x3且f（a－1）＋f（2a2）≤0，则a的取值范 围是 ⁠.
（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
解析： 　由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a≥2且a≠4.故选B.
5. 〔多选〕下列各式正确的是（　　）
6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ax－b（a＞0，且a≠1，b≠0）的图象不 经过第三象限，则a，b的取值范围可能为（　　）
解析： 　若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象如图1所示，要想f（x）＝ ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单 位长度，故－b＞0或－1≤－b＜0，解得b＜0或0＜b≤1，故A、B正确； 若a＞1，则函数y＝ax的图象如图2所示，要想f（x）＝ax－b的图象不 经过第三象限，则需要向上平移，故－b＞0，解得b＜0，故C正确，D错 误. 　　
7. 写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函 数f（x）＝ ⁠.
（2）若f（x）有最大值3，求实数a的值.
10. （2026·安徽江淮十校联考）已知x，y∈R，且9x＋（x－2）·3x＝1， 9y－1＋y·3y＝9，则x＋y＝（　　）
解析： 　因为9x＋（x－2）·3x＝1，两边同除以3x，得3x＋x－2＝3－ x，即3x－3－x＋x－2＝0　①，因为9y－1＋y·3y＝9，两边同除以3y，得3y －2＋y＝32－y，即32－y－3y－2－y＝0，整理得32－y－3y－2＋（2－y）－2＝ 0　②，由①②可构造函数f（x）＝3x－3－x＋x－2，显然该函数是R上的 增函数，于是根据①②知f（x）＝f（2－y），所以x＝2－y，因此x＋y ＝2.故选B.
当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x，即（b－1）·（2x－1）＝0，又因为当x≠0时，2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1.经检验符合题意，所以a＝1，b＝1.
（2）若存在t∈[0，4]，使f（k＋t2）＋f（4t－2t2）＜0成立，求k的取 值范围.
令g（t）＝t2－4t＝（t－2）2－4，t∈[0，4]，故问题等价转化为k＞g（t）min，又因为g（t）min＝g（2）＝－4，所 以k＞－4，故k的取值范围为（－4，＋∞）.