2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第二章2.13函数模型的应用(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第二章2.13函数模型的应用(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了13　函数模型的应用，指数、对数、幂函数模型性质比较，不正确，8%，7小时开始进行第二次注射等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
2.几种常见的函数模型
【名师点拨】
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )
(3)不存在x0，使ax00)的增长速度.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
【解析】(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×eq \f(9,10)＝99(元).
∴每件赔1元，(1)错误.
(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.(2)不正确.
(3)如a＝x0＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(1,4)，不等式成立，因此(3)错误.
2.下列函数中，随着x的增长，y的增长速度最快的是( )
A.y＝50B.y＝1 000x
C.y＝2ln xD.y＝11 000ex
【答案】D
【解析】依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着x的增长，y＝11 000ex的增长速度最快.
3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在下列四个函数模型(a，b∈R)中，最能反映x，y函数关系的是( )
A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx
C.y＝a＋lgbxD.y＝a＋bx
【答案】C
【解析】作出散点图如图所示，由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y＝a＋lgbx反映x，y函数关系.
4.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )
A.26米B.28米C.31米D.33米
【答案】C
【解析】h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5t−322＋1254,h(t)max＝h32＝1254≈31.
【名师点拨】
(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
(3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
【必练核心题型】
题型一 用函数图象刻画变化过程
命题点1 函数的增长差异
例1.设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是( )
A.f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢
【答案】B
【解析】画出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x中，
当x∈(4，＋∞)时，函数g(x)＝2x增长速度最快，h(x)＝lg2x增长速度最慢.
所以选项B正确.
命题点2 用函数图象刻画变化过程
例2.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是( )
A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用
B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒
C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
【答案】ABC
【解析】从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.
【解题技巧】
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
【变式训练】
变式1.为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是( )
【答案】B
【解析】由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足.
题型二 已知函数模型的实际问题
例1.2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如潮，充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的( )
A.51.2%B.48.8%C.52%D.48%
【答案】B
【解析】依题意有N0e－2k＝(1－20%)N0，
可得e－2k＝0.8，
当t＝6时，N0e－6k＝N0(e−2k)3＝0.512N0＝(1－48.8%)N0，
因此，前6个小时消除了污染物的48.8%.
变式2.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln 2，要使火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料质量与火箭质量的比值是 .
【答案】e3－1
【解析】根据题意，可得4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln 2＝12，
所以lnm＋x2m4＋ln 4＝12，
即lnm＋xm4＝ln e12，
可得1＋xm4＝e12，
而1＋xm>0，则1＋xm＝e3，
所以xm＝e3－1，
即燃料质量与火箭质量的比值是e3－1.
【解题技巧】
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
【变式训练】
变式1.我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，…，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a