第二章　§2.14　函数模型的应用-2026年高考数学大一轮复习课件含试题及答案（提高版）

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§2.14　函数模型的应用课标要求　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.1.三种函数模型的性质2.常见的函数模型1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　×　)(2)A公司员工甲购买了某公司的股票,第一天涨了10%,第二天跌了10%,则员工甲不赚不赔.(　×　)(3)已知a>1,在(0,＋∞)上,随着x的增大,y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度.(　√　)(4)在选择函数模型解决实际问题时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　×　)2.下列函数中,随着x的增长,y的增长速度最快的是(　　)A.y＝50 B.y＝1 000xC.y＝2ln x D.y＝11 000ex答案　D解析　依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着x的增长,y＝11 000ex的增长速度最快.3.在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：在下列四个函数模型(a,b∈R)中,最能反映x,y函数关系的是(　　)A.y＝a＋bx B.y＝a＋bxC.y＝a＋logbx D.y＝a＋bx答案　C解析　作出散点图如图所示,由散点图可知,散点图和对数函数图象接近,可选择y＝a＋logbx反映x,y函数关系. 4.我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　)A.26米 B.28米 C.31米 D.33米答案　C解析　h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5t-322＋1254,h(t)max＝h32＝1254≈31.(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.(2)充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.(3)解题时,易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.题型一　用函数图象刻画变化过程命题点1　函数的增长差异例1　设f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　)A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢答案　B解析　画出函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x的图象,如图所示, 结合图象,可得三个函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x中,当x∈(4,＋∞)时,函数g(x)＝2x增长速度最快,h(x)＝log2x增长速度最慢.所以选项B正确.命题点2　用函数图象刻画变化过程例2　(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中,正确的是(　　)A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒答案　ABC解析　从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确；根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确；服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.思维升华　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.跟踪训练1　为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0,某运输公司提出了四种运输方案,每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示,其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　)答案　B解析　由题意,运输效率逐步提高,即函数增长速率逐渐加快,选项B满足.题型二　已知函数模型的实际问题例3　(1)2024年1月5日,第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕,现场流光溢彩,游客如潮,充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的(　　)A.51.2% B.48.8% C.52% D.48%答案　B解析　依题意有N0e－2k＝(1－20%)N0,可得e－2k＝0.8,当t＝6时,N0e－6k＝N0(e-2k)3＝0.512N0＝(1－48.8%)N0,因此,前6个小时消除了污染物的48.8%.(2)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln 2,要使火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是　　　　　. 答案　e3－1解析　根据题意,可得4[ln(m＋x)－ln(2m)]＋2ln 2＝12,所以lnm＋x2m4＋ln 4＝12,即lnm＋xm4＝ln e12,可得1＋xm4＝e12,而1＋xm>0,则1＋xm＝e3,所以xm＝e3－1,即燃料质量与火箭质量的比值是e3－1.思维升华　已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.跟踪训练2　(2024·本溪模拟)我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态,2个超导量子比特共有4种叠加态,3个超导量子比特共有8种叠加态,…,每增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a