2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第07讲函数的基本性质(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学大一轮复习核心题型讲义(新高考版)第07讲函数的基本性质(学生版+解析)，共5页。
一．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
二．函数的最值
常用结论
1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(0(0或f(x)0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
五．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为 ．
六．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称．
七．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于 对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于 对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于 对称．
易错分析
【易错点一】复合函数单调区间判断错误
【例1】（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【变式1】（2020·全国·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021·内蒙古包头·一模）设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【变式3】（2021·上海浦东新·三模）函数的单调递减区间为 .
【易错点二】忽略定义域的影响直接应用性质
【例2】（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2023·内蒙古·模拟预测）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·全国·模拟预测）定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·山东枣庄·模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是 ．
题型方法
【题型一】判断函数的单调性（区间）
【例1】（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【举一反三】【变式1】（2022·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·海南海口·二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ．
【变式3】（2022·全国·三模）函数的单调递减区间为 ．
【题型二】已知函数的单调性求参数
【例2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·山东·模拟预测）若函数的图像经过点，且在上是减函数，则 ．
【变式3】（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .
【题型三】利用函数的单调性解不等式
【例3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ．
【变式3】（2023·山东·模拟预测）若函数在上是增函数，且，求的取值范围．
【题型四】求函数的最值
【例4】（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值D．既没有最大值，也没有最小值
【举一反三】【变式1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值为2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【变式2】（2025·甘肃·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ．
【变式3】（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值.
【题型五】比较大小
【例5】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，，则，，的大小关系为 .（均用“>”连接）
【题型六】判断函数的奇偶性
【例6】（2025·江西·模拟预测）函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为5B．奇函数，且最小值为
C．偶函数，且最大值为5D．偶函数，且最小值为
【举一反三】【变式1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（多选）（2022·福建宁德·模拟预测）下列既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【题型七】函数奇偶性的应用
【例7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【举一反三】【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（ ）
A．2B．1C．0D．
【变式2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数的取值范围为 ．
【变式3】（2023·陕西咸阳·模拟预测）求下列情况下的值
(1)若函数是偶函数, 求的值．
(2)已知 是奇函数, 且当时,,若, 求的值．
【题型八】函数的周期性与对称性
【例8】（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2025·江苏·三模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为 ．
【变式3】（2025·陕西西安·二模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
好题必刷
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．D．2
3．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2025·云南·一模）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数的图象的对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2025·青海海东·三模）定义在上的函数满足，，则（ ）
A．B．
C．D．2为的一个周期
7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（ ）
A．是偶函数B．最大值为
C．最小值为D．在有两个零点
8．（2025·重庆·三模）已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．关于x的不等式的解集是
D．
三、填空题
9．（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 .
10．（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 .
11．（2025·湖南·三模）已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为 ．
四、解答题
12．（2025·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
13．（2021·陕西安康·一模）已知函数是定义在上的偶函数，满足．
(1)证明：函数是周期函数．
(2)当时，．若恰有14个零点，求实数的取值范围．
14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
15．（2022·上海松江·二模）对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质．
(1)若，判断是否具有性质，并说明理由；
(2)若，且具有性质，求m的最大值；
(3)若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质，证明：是R上的单调函数．
易错分析
易错点一 复合函数单调区间判断错误
易错点二 忽略定义域的影响直接应用性质
题型方法
题型一 判断函数的单调性（区间）
题型二 已知函数的单调性求参数
题型三 利用函数的单调性解不等式
题型四 求函数的最值
题型五 比较大小
题型六 判断函数的奇偶性
题型七 函数奇偶性的应用
题型八 函数的周期性与对称性
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1