2026年中考数学一轮复习考点强化训练－第18讲 解直角三角形（学生版+教师版）

这是一份2026年中考数学一轮复习考点强化训练－第18讲 解直角三角形（学生版+教师版），共9页。试卷主要包含了[2025湖南]计算，[2025云南]计算等内容，欢迎下载使用。
考点1 锐角三角函数
1．[2025广西]在Rt△ABC中,∠C=90∘ ,AB=7,AC=3,则sinB=（ ）
A. 710B. 37C. 310D. 17
【答案】B
2．[2025上海普陀区三模]在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，如果sinB=35，那么csA的值是（ ）
A. 34B. 35C. 45D. 43
【答案】B
3．[2025云南昆明一模]如图，在△ABC中，若∠B=90∘ ，tanC=2，BC=3，则AB的值在（ ）
A. 3到4之间B. 4到5之间C. 5到6之间D. 6到7之间
【答案】B
4．[2025广东]计算20−2sin30∘ 的结果是_ _ _ _ .
【答案】0
5．[2025湖南]计算：(−2025)0+|−1|−tan45∘ .
【答案】解：(−2025)0+|−1|−tan45∘
=1+1−1
=1.
6．[2025云南]计算：
(π−2)0−(3)2+|−6|+(15)−1−2cs60∘ .
【答案】解：原式=1−3+6+5−2×12=1−3+6+5−1=8.
考点2 解直角三角形
7．[2024甘肃临夏州]如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BC的长是（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，sinB=AMAB=45，
∴AM=5×45=4，
∴BM=52−42=3.
又∵AB=AC，
∴BC=2BM=6.
8．[2025吉林长春]如图，已知某山峰的海拔为m米，一位登山者到达海拔为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α ，则A，B两点之间的距离为 （ ）
A. (m−n)sinα 米B. m−nsinα米
C. (m−n)csα 米D. m−ncsα米
【答案】B
9．[2025浙江]无人机警戒在高速公路场景中的应用是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图,在高速公路上,交警在A处操控无人机巡查,无人机从点A处飞行到点P处悬停,探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500m,从点A观测点P的仰角为α ,csα=0.98,则A处到B处的距离为_ _ _ _ m.
【答案】490
10．[2025内蒙古]如图,因地形原因,湖泊两端A,B间的距离不易测量,某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90m高的点C处，从C点测得A点的俯角为60∘ ，测得B点的俯角为30∘(A,B,C三点在同一竖直平面内),则湖泊两端A,B间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ m（结果保留根号）.
【答案】1203
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10，AD=6，tan∠ACB=1.
（1） 求BC的长；
（2） 求sin∠DAE的值.
【答案】
解:（1）∵AD⊥BC，AB=10，AD=6，
∴BD=AB2−AD2=102−62=8.
∵tan∠ACB=1，
∴CD=AD=6，
∴BC=BD+CD=8+6=14.
（2） ∵AE是BC边上的中线，
∴CE=12BC=7，
∴DE=CE−CD=7−6=1，
∵AD⊥BC，
∴AE=AD2+DE2=62+12=37，
∴sin∠DAE=DEAE=137=3737.
12．[2025湖北]如图,甲、乙两栋楼相距30m,从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35∘ ,A到地面的距离为18m,求乙楼的高.(参考数据:tan35∘≈0.7)
解：如图，由题意得四边形AEDC为矩形，∠BAC=35∘ ，
∴∠ACB=180∘−∠ACD=90∘ ，CD=AE=18m，AC=DE=30m，
∴ 在Rt△ABC中，BC=AC⋅tan∠BAC=30×tan35∘≈30×0.7=21(m)，
∴BD=BC+CD=21+18=39(m).
答：乙楼的高为39m.
13．[2025贵州]某小区在设计时,计划在图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心大楼.设计示意图如图②所示,已知BD=28m,CD=21m,该地冬至正午太阳高度角α 为35∘ .如果你是建筑设计师,请结合示意图和已知条件完成下列任务.
任务一：．计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB；
任务二：．为符合建筑规范对日照的要求,让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光,需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变）,求该活动中心移动了多少米.
（参考数据:sin35∘≈0.57,cs35∘≈0.82,tan35∘≈0.70.结果保留小数点后一位）
图①图②
【答案】
解:任务一：如图，过A作AE⊥CD于E，
由题意得四边形AEDB为矩形，
∴AE=BD=28m，AB=DE，
∵∠CAE=α=35∘ ，
∴ 在Rt△ACE中，CE=AE⋅tanα≈28×0.7=19.6(m)，
∴AB=DE=CD−CE=21−19.6=1.4(m).
任务二： 如图，过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ，AE交于点T，过Q作QK⊥BD于K，
∴∠QBK=∠ATB=∠CAE=35∘ ，四边形CDKQ为矩形，
∴CD=QK=21m，
在Rt△BKQ中，BK=QKtan∠QBK=21tan35∘≈210.7=30(m)，
∴DK=BK−BD=30−28=2(m)，
即该活动中心移动了2m.
综合提升练
14．[2025黑龙江绥化]如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1:2（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC=15m，则迎水坡面AB的长度是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】153m
15．[2025江苏扬州]如图1,棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上,其中水面高度BM=7cm.将此正方体放在坡角为α 的斜坡上,此时水面MN恰好与点A齐平,其主视图如图2所示,则tanα=_ _ _ _ _ _ .
图1图2
【答案】49
【解析】如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得AD=BC=CD=9cm，
∠D=90∘ ，AD//BC，AN//FG，
设DN=xcm，则CN=CD−DN=(9−x)cm，
∵ 容器里水的体积不变,且容器放在坡角为α 的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为(9−x)cm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和，
∴9×9(9−x)+12×9×9x=9×9×7，
解得x=4，即DN=4cm，
∵AN//FG，
∴∠AEF=∠F=α ，
∵AD//BC，
∴∠DAN=∠AEF=α ，
∴tanα=tan∠DAN=DNAD=49.
16．[2025河北]2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月,活动主题为“抓早抓小抓关键,更快降低近视率”.下图是一幅眼肌运动训练图,其中数1～12对应的点均匀分布在一个圆上,数字0对应圆心.图中以数0～12对应的点为端点的所有线段中,有一条线段的长与其他的都不相等.若该圆的半径为1,则这条线段的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .(参考数据:sin15∘=6−24,sin75∘=6+24)
【答案】6+22
【解析】如图所示，将数字0对应的点记为圆心O，数字6对应的点记为A，数字7对应的点记为B，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，OB.
由图可知，线段AB的长与其他的都不相等，
∵ 数1∼12对应的点均匀分布在一个圆上，360∘÷12=30∘ ，
∴ 相邻两个数对应的点与圆心O的连线组成的圆心角为30∘ ，
∴∠AOB=30∘×5=150∘ ，∴∠OAB=∠OBA=12(180∘−∠AOB)=15∘ ，
∵OD⊥AB，∴∠BOD=75∘ ，
∴sin∠BOD=sin75∘=BDOB，即6+24=BD1，
∴BD=6+24，
∵OD⊥AB，∴AB=2BD=6+22.
17．[2024湖南]如图，上图为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，下图为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC=4分米，OB=12分米，∠BOE=60∘ ,则点C到水平线l的距离CF为_ _ _ _ _ _ _ _ 分米（结果用含根号的式子表示）.
【答案】(6−23)
【解析】延长DC交l于点H，连接OC，
在Rt△OBH中，∠BOH=90∘−60∘=30∘ ，OB=12，
∴BH=12×tan30∘=43，OH=83.
∵S△OBH=S△OCH+S△OBC，
∴12OB⋅BH=12OH⋅CF+12OB⋅BC，
即12×12×43=12×83CF+12×12×4，
∴CF=(6−23)分米.
18．[2024山东泰安]在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50∘ ，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6∘ ，已知瞭望台BC高12米（图中点A，B，C，P在同一平面内）.那么大汶河此河段的宽AB为_ _ _ _ 米.(参考数据：sin40∘≈35，sin63.6∘≈910，tan50∘≈65，tan63.6∘≈2)
【答案】74
【解析】如图，过点P作PE⊥AB于点E,过点C作CF⊥PE于点F,
则∠NPC=∠PCF=63.6∘ ，
∠MPA=∠BAP=50∘ ，BC=EF=12米，PE=60米，
∴PF=PE−EF=48米，
在Rt△PFC中，tan63.6∘=PFCF≈2，
∴CF=BE≈24米，
在Rt△APE中，tan50∘=PEAE≈65，
∴AE≈50米，∴AB=AE+BE=74米.
19．[2024江西]将图1所示的七巧板,拼成图2所示的四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB=_ _ _ _ _ _ .
图1 图2
【答案】12
【解析】设AC与BD交于点O，
由七巧板可知△ABD和△BCD是全等的等腰直角三角形，
∴AB=BD=CD,∠ABD=∠BDC=90∘ ,∴AB//CD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=12BD=12AB，
∴tan∠CAB=tan∠OAB=OBAB=12.
20．[2025江苏连云港]如图,港口B位于岛A的北偏西37∘ 方向,灯塔C在岛A的正东方向,AC=6km,一艘海轮D在岛A的正北方向,且B、D、C三点在一条直线上,DC=52BD.
（1） 求岛A与港口B之间的距离；
（2） 求tanC.
(参考数据:sin37∘≈35,cs37∘≈45,tan37∘≈34)
【答案】
解：（1） 如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，
由题可知AC⊥AD，∴BM//AC，
∴△BDM∼△CDA，
∴BMCA=BDCD，
∵DC=52BD，AC=6km，
∴BM6=25，∴BM=125km，
在Rt△ABM中，sin∠BAD=sin37∘=BMAB=125AB≈35，
∴AB≈4km.
答：岛A与港口B之间的距离约为4km.
（2） 在Rt△ABM中，AM=AB×cs37∘≈4×45=165(km)，
∵△BDM∼△CDA，
∴DMAD=BDCD=25，
∴AD=57AM=57×165=167(km)，
在Rt△ADC中，
tanC=ADAC=1676=821.
21．[2025安徽]某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8∘ ，测得点D的仰角为36.9∘ .已知AB=13.20m，求AD的长(精确到0.1m).
参考数据：sin23.8∘≈0.40，cs23.8∘≈0.91，tan23.8∘≈0.44，sin36.9∘≈0.60，cs36.9∘≈0.80，tan36.9∘≈0.75.
解：过点A作AE⊥CD,垂足为E.
由题意知,四边形ABCE为矩形,所以CE=AB=13.20m.
在Rt△ACE中,tan∠CAE=CEAE,
所以AE=CEtan∠CAE=13.20tan23.8∘≈(m).
在Rt△ADE中,cs∠DAE=AEAD,
所以AD=AEcs∠DAE=30.00cs36.9∘≈
=37.5(m).
故AD的长约为37.5m.
22．[2025湖南长沙]如图,某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上,景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60∘ 方向上,位于景点A的北偏东30∘ 方向上,景点B位于景点D的南偏西45∘ 方向上.已知AB=800m.
（1） 求∠ACB的度数；
（2） 求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号）
【答案】
解：（1） 如图,由题意可得∠CBE=60∘ ,∠CAF=30∘ ,∠BDM=45∘ ,BM⊥DM,BE//AF//DM.
∴∠BCM=∠CBE=60∘ ,∠ACM=∠CAF=30∘ .
∴∠ACB=∠BCM−∠ACM=60∘−30∘=30∘ .
（2） ∵∠CBE=60∘ ,
∴∠CBM=90∘−∠CBE=90∘−60∘=30∘ .
由（1）得∠ACB=30∘ .
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC=800m.
在Rt△ACM中,sin∠ACM=AMAC,cs∠ACM=CMAC,
∴AM=AC⋅sin∠ACM=800×sin30∘=800×12=400(m),CM=AC⋅cs∠ACM=800×cs30∘=800×32=4003(m).
∴BM=BA+AM=800+400=1200(m).
∵∠BDM=45∘ ,BM⊥DM,
∴DM=BM=1200m.
∴DC=DM−CM=(1200−4003)m，
即景点C与景点D之间的距离为(1200−4003)m.
23．[2025湖南]如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB=19分米，CD>AB，在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE=13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l.
图1图2
（1） 如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
（2） 如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE=76.1∘ ，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米.
(结果保留整数，参考数据：sin76.1∘≈0.97，cs76.1∘≈0.24，tan76.1∘≈4.04)
【答案】
解：（1）∵EG⊥AB，AB⊥BD，EN⊥BD，
∴ 四边形BNEG是矩形，
∴EN=BG.
在Rt△AEG中，AE=13分米，EG=12分米，
∴AG=AE2−EG2=132−122=5（分米），
∴BG=AB−AG=14分米，
∴EN=14分米，即MN=14分米.
答：该连衣裙MN的长度为14分米.
（2） 如图所示，过点E作EH⊥AB于H，延长EN交BD于T，
∵AB⊥BD，EH⊥AB，ET⊥BD，
∴ 四边形BTEH是矩形，
∴ET=BH.
在Rt△AEH中，AE=13分米，∠HAE=76.1∘ ，
∴AH=AE⋅cs∠HAE=13×cs76.1∘≈13×0.24=3.12（分米），
∵AB=19分米，
∴BH=AB−AH=15.88分米，
∴ET=15.88分米，
∵EN=14分米，
∴NT=ET−EN=15.88−14=1.88≈2（分米）.
答：此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米.
24．[2025山东烟台]【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”,它坐落在烟台山上,为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况,某日,数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图,一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行,小组同学收集到以下信息:
请根据以上信息,解答下列问题:
（1） 求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2） 若不改变航行速度,请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A
(参考数据:sin37∘≈0.60,cs37∘≈0.80,tan37∘≈0.75,sin14∘≈0.24,cs14∘≈0.97,tan14∘≈0.25).
【答案】
解：（1） 如图，过点B作BE⊥AC于点E，
设BE=x，依题意得∠EBC=53∘ ，∠EBD=45∘ ，CD=10×12=5，
∴∠C=90∘−∠EBC=37∘ ，ED=x，
∴EC=ED+DC=x+5，
在Rt△BCE中，EC=BEtanC=xtan37∘≈x0.75=43x，
∴43x=x+5，解得x=15，
∴ 渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离约为15海里.
（2） 在Rt△ABE中，∠ABE=14∘ ，BE=15，
∴AE=BE⋅tan14∘≈15×0.25=3.75，
∴AD=AE+DE=3.75+15=18.75，
18.75÷10=1.875（小时）=112.5（分钟），
从15:00经过112.5分钟是16:52:30，在17:30之前，
∴ 不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A.
25．[2025江苏苏州]两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作,∠ABC=90∘ ,AB=40m,BC=30m,直线BD为生产流水线,且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）.机器人甲从点A出发,沿A→B的方向以v1(m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点P表示,机器人乙从点B出发,沿B→C→D的方向以v2(m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点Q表示.两个机器人同时出发,设机器人运动的时间为t(min),记点P到BD的距离（即垂线段PP'的长）为d1(m),点Q到BD的距离（即垂线段QQ'的长）为d2(m).当机器人乙到达终点时,两个机器人立即同时停止运动,此时d1=与t的部分对应数值如下表(t1