2026年中考数学一轮复习考点强化训练－第20讲 特殊的平行四边形（学生版+教师版）

这是一份2026年中考数学一轮复习考点强化训练－第20讲 特殊的平行四边形（学生版+教师版），共9页。
1．[2025四川德阳]如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ）
第1题图
A. AB//CDB. AB=BC
C. ∠ABC=∠ADCD. AC=BD
【答案】D
2．[2024甘肃]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60∘ ，AB=2，则AC的长为 （ ）
第2题图
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】C
【解析】∵ 四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠ABD=60∘ ，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴OC=OA=2，
∴AC=OA+OC=4.
3．[2025四川泸州]矩形具有而菱形不具有的性质是 （ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角相等
【答案】A
4．[2025黑龙江绥化]一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60∘ .则这个矩形的面积是（ ）
A. 25B. 253C. 255D. 503
【答案】B
5．[2024吉林长春]如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90∘ ,O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵O是边AB的中点，
∴OA=OB，
在△AOD和△BOC中，
∠AOD=∠BOC,OA=OB,∠A=∠B,
∴△AOD≌△BOC(ASA)，
∴DA=CB，
∵∠A+∠B=180∘ ，∴DA//CB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90∘ ，
∴ 四边形ABCD是矩形.
6．[2025吉林]如图,在矩形ABCD中,点E,F在边BC上,连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.
（1） 求证:△ABE≌△DCF；
（2） 当AB=12,DF=13时,求BE的长.
【答案】
（1） 证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠B=∠C=90∘ ，
又∵∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△DCF(ASA).
（2） 解：∵△ABE≌△DCF，
∴AE=DF=13，
在Rt△ABE中，∵∠B=90∘ ，AB=12，
∴BE=AE2−AB2=5.
考点2 菱形
7．[2025湖南]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 18
【答案】C
8．[2025黑龙江龙东地区]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使平行四边形ABCD为菱形.
【答案】AC⊥BD（答案不唯一）
9．[2025福建]如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】∵ 四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=2,AC⊥BD,AB//CD,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,
又∵OA=OC,∴△OAE≌△OCF，
∴S△OAE=S△OCF,
∴S△AOE+S△DOF=S△DOC=12DO⋅OC=12×1×2=1.
10．[2024贵州]如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.若sin∠EAF=45，AE=5，则AB的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
第10题图
【答案】2653
【解析】如图，过点E作EG⊥AF于点G，延长AF，BC，交于点H，
则∠EGA=∠EGH=90∘ ，
∵sin∠EAF=45=EGAE，AE=5，
∴EG=4，
∴AG=AE2−EG2=52−42=3，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B，
∵ 点E，F分别是BC，CD的中点，
∴BE=CE=12BC，DF=CF=12CD，
∴BE=DF，
∴△ADF≌△ABE(SAS)，
∴AF=AE=5，
∴GF=AF−AG=2，
∵AD//BC，
∴∠D=∠FCH，
又∵∠AFD=∠HFC，DF=CF,
∴△ADF≌△HCF(ASA)，
∴AF=HF=5，AD=CH，
∴AB=BC=CH，GH=GF+HF=2+5=7，
∴EH=EG2+GH2=42+72=65，
∴AB=BC=23EH=2653.
11．[2024广东]如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ .
第11题图
【答案】10
【解析】连接BD，
∵E是AB的中点，
∴S△AED=12S△ABD=14S菱形ABCD=14×24=6.
连接EC，
同理可得S△BEC=S△AED=6，
∵S△BEF=4，
∴S△BEF=23S△BEC，
∴FC=13BC，
∴S△DFC=13S△BCD=16S菱形ABCD=16×24=4.
∴S阴影=S菱形ABCD−S△AED−S△BEF−S△DFC=24−6−4−4=10.
12．[2025贵州]如图,在▱ABCD中,E为对角线AC的中点,连接BE,且BE⊥AC,垂足为E.延长BC至F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G.
（1） 求证:▱ABCD是菱形；
（2） 若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积.
【答案】
（1） 证明：∵E为对角线AC的中点，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AB=BC，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形.
（2） 解:∵BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB，
∵CF=CE，∴∠CEF=∠CFE，
∴∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF，
∵∠BEC=90∘ ，
∴∠CBE=30∘ ，∠BCA=60∘ ，
∴∠ACB=∠ACD=60∘ ，
∴∠DCF=180∘−60∘−60∘=60∘ ，
∴∠BCE=∠DCF，
由（1）得BC=CD，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠DFC=∠BEC=90∘ ，
∵CF=CE=4，∴DF=3CF=43，
∴△DCF的面积=12DF⋅CF=12×43×4=83.
考点3 正方形
13．[2024陕西]如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（ ）
A. 2B. 3C. 52D. 83
【答案】B
【解析】由正方形CEFG和正方形ABCD，得AD//GF，
∴△ADH∼△FGH，
∴DH:HG=AD:GF=6:2=3:1，
由DG=DC−CG=6−2=4，
得DH=4×31+3=3.
14．[2024内蒙古兴安盟]如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（ ）
A. 22B. 2+2C. 4−22D. 2
【答案】A
【解析】∵ 正方形ABCD的边长是2，
∴BD=22+22=22，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DC=DF=2，EC=EF，
∴BF=22−2，
∴△BEF的周长=BF+BE+EF=BF+BE+EC=BF+BC=22−2+2=22.
15．[2025浙江]【问题背景】
如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分）,点E在对角线BD上.
【数学理解】
（1） 该机翼状纸板由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
（2） 若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.
【答案】
（1） 证明:在正方形ABCD中,
BA=BC,∠ABD=∠CBD=45∘ ,
在△ABE和△CBE中,
BA=BC,∠ABE=∠CBE,BE=BE,
所以△ABE≌△CBE(SAS).
（2） 解：在正方形ABCD中,
∠BAD=90∘ ,∠ADB=45∘ .
因为DE=DA,
所以∠DAE=∠DEA=67.5∘ ,
所以∠BAE=90∘−67.5∘=22.5∘ .
综合提升练
16．[2025河北]在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点.如图,正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点.若只将正方形EFGH平移,使其内部（不含边界）有且只有A,B,C三个整点,则平移后点E的对应点坐标为（ ）
A. (75,115)B. (85,2310)C. (32,2)D. (32,94)
【答案】A
【提示】根据各个选项中点E'的坐标推断出正方形EFGH的平移方式，进而求出直线F'G'，E'H'的解析式，由此确定正方形E'F'G'H'内部是否有且只有A，B，C三个整点.
17．[2024山东临沂]如图，已知AB,BC,CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120∘ ,则n的值为（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】A
【解析】由已知得∠ABN=120∘ ，∠CBN=90∘ ，故正n边形的一个外角为120∘+90∘−180∘=30∘ .利用多边形外角和为360∘ ，得n=360∘÷30∘=12.
18．[2025四川南充]如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形,若正六边形的边长为2,则矩形的面积是（ ）
A. 12B. 83C. 16D. 123
【答案】B
【解析】如图，∵ 六边形ABCDEF为正六边形,
∴AB=BC=2,∠BAF=∠AFE=120∘ ，
∴∠BAM=60∘ ,∠EFH=60∘ ，
∴BM=BN=AB⋅sin60∘=2×32=3,AM=12AB=1，
同理可得FH=AM=1，
∴MH=AM+AF+FH=4,
又∵MN=BM+BN=23，
∴S矩形MNGH=4×23=83,故选B.
19．[2025广东]如图,在矩形ABCD中,E,F是BC边上的三等分点,连接DE,AF相交于点G,连接CG.若AB=8,BC=12,则tan∠GCF的值是（ ）
A. 1010B. 13C. 31010D. 23
【答案】B
【解析】过点G作GM⊥BC于点M，如图所示，
在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，∠B=90∘ ，
∵E，F是BC边上的三等分点，
∴BE=EF=CF=13BC=4，
∴BF=BE+EF=8，∴AB=BF=8，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BFA=45∘ ，
同理可得△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED=45∘ ，
∴∠BFA=∠CED=45∘ ，
∴△GEF是等腰直角三角形，
∵GM⊥EF，
∴GM=EM=FM=12EF=2，
∴CM=CF+FM=4+2=6，
∴ 在Rt△GMC中，
tan∠GCF=GMCM=26=13.
故选B.
20．[2024湖南长沙]如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=30∘ ,点E是BC边上的动点，连接AE,DE,过点A作AF⊥DE于点F.设DE=x,AF=y,则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A. y=9xB. y=12xC. y=18xD. y=36x
【答案】C
【解析】过A作AG⊥BC于点G,
∵∠B=30∘ ,AB=6,
∴AG=12AB=3.
在菱形ABCD中，AD=AB=6.
∵S△ADE=12AD⋅AG=12DE⋅AF,
∴6×3=xy,
∴y=18x.
21．[2025陕西]如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（ ）
A. 10B. 8C. 5D. 4
【答案】C
【解析】∵ 四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB=BC=4，∠A=∠B=90∘ ，
∵ 点E是AB的中点，
∴AE=BE=12AB=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得,CE=BC2+BE2=42+22=25，
∵∠B=90∘ ，EF⊥EC，
∴∠BCE+∠BEC=90∘ ，∠AEF+∠BEC=90∘ ，
∴∠BCE=∠AEF，
又∵∠A=∠B=90∘ ，
∴△BCE∼△AEF，
∴CEEF=BCAE，
∴EF=CE⋅AEBC=25×24=5，
∴△CEF的面积为12CE⋅EF=12×25×5=5.
22．[2024江苏苏州]如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G,则AG的最大值为（ ）
A. 3B. 32C. 2D. 1
【答案】D
【解析】连接AC，交EF于O，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠B=90∘ ，
∵AB=3，BC=1，
∴AC=AB2+BC2=3+1=2，
∵ 动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，
∴CF=AE，
∵AB//CD，∴∠ACD=∠CAB，
又∵∠COF=∠AOE，
∴△COF≌△AOE(AAS)，
∴AO=CO=1，
∵AG⊥EF，
∴ 点G在以AO为直径的圆上运动，
∴ 当点G与点O重合时，AG有最大值，最大值为1．
方法技巧
根据全等可以发现运动过程中EF 始终经过对角线AC 的中点O，而∠AGO=90∘ ，是定角，可知点G 在以AO 为直径的圆上运动，故AG 为该圆的弦，从而根据直径是最长的弦确定AG 的最大值.
23．[2024黑龙江龙东地区]如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF=90∘ ，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD.则下列结论：
①∠HBF=45∘ ；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC=1010；④BN=2BM；⑤若AH=12HD，则S△BND=112S△AHM.其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①③⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤
【答案】A
【解析】连接DG，
取AD延长线上一点为点P,
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=∠BAC=∠ADB=45∘ ，BDAB=2，∠BAD=∠ADC=90∘ ，AC垂直平分BD，
∴∠CDP=90∘ ，
∵DF平分∠CDP，
∴∠CDF=12∠CDP=45∘=∠CDB，
∴∠BDF=∠CDF+∠CDB=90∘ ，
∴∠BHF=90∘=∠BDF，
∴B,H,D,F四点共圆，
∴∠HFB=∠HDB=45∘ ，∠DHF=∠DBF，
∴∠HBF=180∘−∠HFB−∠FHB=45∘ ，故①正确;
∵AC垂直平分BD，∴BG=DG，
∴∠BDG=∠DBG，
∵∠BDF=90∘ ，
∴∠BDG+∠GDF=90∘=∠DBG+∠DFG，
∴∠GDF=∠DFG，
∴DG=FG，
∴DG=FG=BG，
∴ 点G是BF的中点，故②正确;
∵∠BHF=90∘=∠BAH，
∴∠AHB+∠DHF=90∘=∠AHB+∠ABH，
∴∠DHF=∠ABH，
∵∠DHF=∠DBF，
∴∠ABH=∠DBF，
又∵∠BAC=∠BDC=45∘ ，
∴△ABM∼△DBN，
∴BNBM=BDAB=2，
∴BN=2BM，故④正确;
S△ABMS△DBN=(ABBD)2=12，
若AH=12HD，则AH=12HD=12(AD−AH)，
∴3AH=AD，
∴AHAD=13，∴AHBC=AHAD=13，
∵AD//BC，∴△AHM∼△CBM，
∴HMBM=AHBC=13，
∴S△AHMS△ABM=HMBM=13，∴S△ABM=3S△AHM，
∵S△ABMS△DBN=12，
∴S△BND=2S△ABM=6S△AHM，故⑤错误;
若点H是AD的中点，
设AD=2，即AB=BC=AD=2，
∴AH=12AD=1，
∴BH=AH2+AB2=5，
同理可证△AHM∼△CBM，
∴HMBM=AHBC=12，HM+BMBM=32=BHBM,
∴BM=23BH=235，
∵BN=2BM，∴BN=2310，
∵BC=2，
∴ 在Rt△BNC中，NC=BN2−BC2=23,
∴sin∠NBC=NCBN=1010，故③正确.
∴ 正确的结论是①②③④.
24．[2025贵州]如图,在矩形ABCD中,点E,F,M分别在AB,DC,AD边上,BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G,H,且H是DE的中点.若CF=2,∠ABD=30∘ ,则HG的长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】233
【解析】如图，连接AC交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，连接HN，
∵BE=2CF，CF=2，
∴BE=4.
在矩形ABCD中，AN=CN=BN=DN，AB//CD，
∴∠ABD=∠BAC=∠NCF=30∘ ，
∵H是DE的中点，BN=DN,
∴HN是△BDE的中位线，
∴HN//BE，HN=12BE=2，
∴∠ABD=∠HNQ=30∘ ，
∴HQ=12HN=1，
∵HN//AB，AB//CD，
∴HN//CF，
又∵HN=CF=2，
∴ 四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF=∠NHG=30∘ ，
∴∠HGQ=60∘ ，∴∠GHQ=30∘ ，
∴cs∠GHQ=cs30∘=HQHG=1HG，
∴HG=233.
25．[2025北京]如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,CF⊥BE,垂足为F.若AB=1,∠EBC=30∘ ,则△ABF的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】38
【解析】过点F作FM⊥AB于点M，如图，
则∠AMF=90∘ ，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90∘=∠AMF，AB=BC=1，
∴FM//BC，
∴∠MFB=∠EBC=30∘ .
∵CF⊥BE，
∴ 在Rt△CBF中，BF=BC⋅cs30∘=32.
在Rt△BMF中，MF=BF⋅cs30∘=34,
∴S△ABF=12AB⋅MF=12×1×34=38.
26．[2025内蒙古]如图,在菱形ABCD中,AB=45,对角线BD的长为16,E是AD的中点,F是BD上一点,连接EF，若BF=3,则EF的长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】85
【解析】如图，连接AC交BD于O，过点E作EG⊥BD于G，
∵ 四边形ABCD是菱形，对角线BD的长为16，
∴AC⊥BD，BO=DO=8，AB=AD=45，
∴AO=AD2−OD2=80−64=4，
∵E是AD的中点，
∴AD=2DE，
∵EG⊥BD，
∴EG//AC，
∴△EGD∼△AOD，
∴EGAO=DGDO=DEAD=12，
∴EG=12AO=2，DG=12DO=4，
∵BF=3，
∴FG=BD−GD−BF=9，
∴EF=EG2+FG2=4+81=85.
27．[2025天津]如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E在边BC上,且EC=2BE.
（1） 线段AE的长为_ _ _ _ ；
（2） F为CD的中点,M为AF的中点,N为EF上一点, 若∠FMN=75∘ ,则线段MN的长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 5
（2） 153
【解析】
（1） ∵BC=3，EC=2BE，
∴BC=BE+CE=BE+2BE=3，∴BE=1，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=90∘ ，
∴AE=AB2+BE2=22+12=5.
（2） 如图，过点M作MH⊥EF于点H，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90∘ ，
∵F为CD的中点，
∴DF=CF=12CD=1，∴CF=BE，
又∵CE=2BE=2=AB，
∴△ABE≌△ECF(SAS)，
∴EF=EA，∠BAE=∠CEF，
∴∠BEA+∠CEF=∠BEA+∠BAE=90∘ ，∴∠AEF=90∘ ，
∴∠EAF=∠EFA=45∘ ，∴∠MNF=180∘−∠NFM−∠NMF=60∘ .
在Rt△ADF中，由勾股定理得AF=AD2+DF2=32+12=10，
∵M为AF的中点，∴FM=AF2=102，
∴MH=MF⋅sin∠MFH=102⋅sin45∘=52，∴MN=MHsin∠MNH=52sin60∘=153.
28．[2025北京]如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,DF⊥BC,垂足为F,点G在DE的延长线上,DG=FC.
（1） 求证:四边形DFCG是矩形；
（2） 若∠B=45∘ ,DF=3,DG=5,求BC和AC的长.
【答案】
（1） 证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，
∵DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90∘ ，
∴ 四边形DFCG是矩形.
（2） 解：∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90∘ ，
∵∠B=45∘ ，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF=DF=3，
∵DG=FC=5，
∴BC=BF+FC=3+5=8.
由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DE=12BC=4，CG=DF=3，∠G=90∘ ，
∴EG=DG−DE=5−4=1，
∴CE=CG2+EG2=32+12=10，
∵E为AC的中点，
∴AC=2CE=210.
29．[2025湖南长沙]如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF.
（1） 求证:四边形AECF是平行四边形；
（2） 连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长.
【答案】
（1） 证明:∵ 四边形ABCD是正方形,
∴AB//CD且AB=CD.
∵BE=DF,∴AB−BE=CD−DF，
∴AE=CF.
∴ 四边形AECF是平行四边形.
（2） 解:过点E作EH⊥CD于点H.
∵ 四边形ABCD是正方形,BC=12,
∴CD=BC=12,∠B=∠BCD=90∘ .
又∵∠EHC=90∘ ,
∴ 四边形EBCH是矩形.
∴EB=HC=5,EH=BC=12.
∵DF=BE=5,∴HF=CD−DF−CH=12−5−5=2.
在Rt△EHF中,由勾股定理得EF=EH2+FH2=122+22=148=237.
30．[2025吉林]如图,在△ABC中,AB=32,BC=5,∠BAC=45∘ .动点P从点A出发,沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动.点P出发后,以AP为边作正方形APDE,使点D和点B始终在边AC同侧.设点P的运动时间为x(s)(x>0),正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）.
备用图
（1） AC的长为_ _ _ _ ；
（2） 求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；
（3） 当正方形APDE的对称中心与点B重合时,直接写出x的值.
【答案】（1） 7
（2） 解：∵ 四边形APDE是正方形，
∴∠DAP=45∘=∠BAC，
∴ 点D在射线AB上.
当D在线段AB上时，
y=12AP⋅DP=12x2(0