2026年中考数学一轮复习考点训练+：直角三角形分类讨论

这是一份2026年中考数学一轮复习考点训练+：直角三角形分类讨论，共22页。
1．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A．6B．28C．10或28D．10或27
2．若一个直角三角形，两边长为3和4，则第三边长为（ ）
A．3B．7C．5D．5或7
3．如图，∠ABC＝60°，AB＝8，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0），当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是（ ）
A．t＞4B．t＜8C．8＜t＜16D．4＜t＜16
4．一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（2，0），点C在一次函数y=−12x+2的图象上运动，当出现：点C与线段AB构造成为直角三角形时，就会发出警报，则点C在一次函数的图象上运动一次会发出警报的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．当△ABP为直角三角形时，运动时间t等于（ ）
A．2B．258
C．2或258D．2或258或214
二．填空题
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40cm，动点P从点A出发在AB边上沿A→B方向匀速运动，速度为vP＝2cm/s，动点Q从点B出发在BC边上沿B→C方向匀速运动，速度为vQ＝1cm/s当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，则当点P运动 秒时，△PBQ为直角三角形．
7．一副直角三角尺叠放如图所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动α（0°＜α＜120°），当两块三角尺至少有一边互相平行时，α的值是 ．
8．在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 cm．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，D为AC的中点，点F在线段BD的延长线上，E是射线DF上的一个动点（不与点D重合），连接AE，CE，当△ACE是直角三角形时，BE的长为 ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，BC=62，M为AC的中点，N为AB边上一动点，连接MN，将△AMN沿MN折叠得到△A'MN，A′M与AB交于点P，连接A′B，若△A′BP是直角三角形，则AN＝ ．
三．解答题
11．已知：△ABC中，∠B＝60°，AB＝10cm，BC＝16cm．点P在AB上以1cm/s的速度从A向B运动，动点Q从B向C以2cm/s的速度运动．运动时间为t，一个点到终点另外一个点也停止运动．
（1）t为何值时，B在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PQ，设四边形APQC的面积为y，写出y与t的关系式．
（3）t为何值时，△BPQ为直角三角形？
12．已知：如图，△ABC是边长4cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）则当t为何值时，△PBQ是等边三角形？
（2）则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
13．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）．
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）求当t为何值时，四边形PABQ的面积为19cm2．
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
（4）求当t为何值时，线段PQ分三角形AOB的面积比为6：19．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=43，BC=23，点D是边AB的中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM＝x，ME＝y．
（1）当点E与点C重合时，求ME的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当MN经过△ABC一边中点时，请直接写出ME的长．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，OA＝6cm，点B在x轴的正半轴上，OB＝8cm，动点P从点O开始沿OB以2cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BA以2.5cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AO以1.5cm/s的速度向点O移动，如果点P、R，Q分别从点O，B，A同时移动，移动时间为ts（0＜t≤4）．
（1）点P的坐标为 ，点R的坐标为 （用含有字母t的代数式表示）．
（2）求出△PQR的面积S（cm2）随动点移动时间t（s）的函数解析式，并求S的最小值及相应的t值．
（3）t为何值时，△PQR为直角三角形？
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC翻折使得点B落在AC边上的D点，折痕交BC于点E，交AB于点F，设CD＝x，BE＝y
（1）写出y与x之间的关系式和x的取值范围；
（2）若CD＝CE，求x的值；
（3）若△ADF为直角三角形，求x的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，﹣2），将线段AB沿y轴向上平移4个单位，得到线段CD．
（1）写出点C，D的坐标；
（2）若点E在x轴上，求出点E坐标，使得S△CDE=32S△AOB；
（3）线段AB沿y轴向下平移得线段A'B'，x轴上是否存在点P，使得△A′B′P为等腰直角三角形？若存在请直接写出点B'坐标，并写出求其中一个点B′坐标的过程；若不存在，请说明理由．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点A出发沿AC方向以4cm/s的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜15），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，四边形AEFD为菱形？说明理由；
（3）当t为何值时，△ADE与△ABC相似？说明理由．
19．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°．
（1）观察猜想
小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图（2），当BD的延长线恰好经过点E时：
①BDCE的值为 ；
②BD与CE的夹角为 度；
（2）类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转△ADE，连接BD，CE，设BD的延长线交CE于点F，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓展延伸
若AE＝DE＝2，AC=BC=25，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．
20．如图1，直线AB、CD相交于点O，∠AOC：∠BOC＝5：7，将一直角三角板中60°角的顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边MN在直线AB的下方．
（1）在图1中，求∠DON的度数；
（2）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转角α（0°＜α≤360°），恰好使得MN∥CD，求此时旋转角α的大小；
（3）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转角α，当0＜α＜105°时，求∠COM与∠BON的数量关系．
参考答案
一．选择题
二．填空题
6．10或16．
7．15°或60°或105°．
8．18cm或28cm．
9．55+5或105．
10．6﹣32或2．
三．解答题
11．解：（1）由题意得AP＝tcm，BP＝（10﹣t） cm，BQ＝2tcm，0＜t＜8．
当BP＝BQ时，点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴10﹣t＝2t，
解得t=103，
∴t=103时，点B在线段PQ的垂直平分线上．
（2）如图1，连接PQ，分别过点A，P作BC的垂线，垂足分别为D，E．
∵∠B＝60°，AB＝10cm，
∴BD=12AB=5cm，
∴AD=AB2−BD2=53cm，
∴S△ABC=12⋅AD⋅BC=12×53×16=403 cm2．
同理可求得PE=32BP=32(10−t)cm，
∴S△BPQ=12BQ⋅PE=12⋅2t⋅32(10−t)=−32t2+53t cm2，
∴四边形APQC的面积y＝S△ABC﹣S△BPQ=403−(−32t2+53t)=32t2−53t+403．
（3）①如图2，∠BQP＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ，即（10﹣t）＝2•2t，解得t＝2．
②如图3，∠BPQ＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴BQ＝2BP，即2（10﹣t）＝2t，解得t＝5．
综上所述，当t的值为2或5时，△BPQ为直角三角形．
12．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
（1）当BP＝BQ时，
即4﹣t＝t时，△BPQ是等边三角形，
∴t＝2时，△BPQ是等边三角形；
（2）当∠PQB＝90°时，
∴BQ=12BP，
∴t=12（4﹣t），
解得t=43，
当∠QPB＝90°时，
∴BP=12BQ，
∴4﹣t=12t，
解得t=83，
综上：t=43或83时，△PBQ是直角三角形．
13．解：（1）PO＝2tcm，OQ＝（5﹣t）cm，
故答案为：2t，（5﹣t）；
（2）∵S四边形PABQ＝S△ABO﹣S△POQ，
即19=12×10×5−12×2t×(5−t)，
解得：t＝2或3，
∴当t＝2或3时，四边形PABQ的面积为19cm2；
（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∴OPOA=OQOB或OPOB=OQOA，
①当OPOA=OQOB时，
则2t10=5−t5，
∴t=52，
②当OPOB=OQOA时，
则2t5=5−t10，
∴t＝1，
综上所述，当t=52或1时，△POQ与△AOB相似；
（4）当线段PQ分三角形AOB的面积比为6：19时，
则S△OPQ=625S△AOB，或S△OPQ=1925S△AOB，
∴12×2t（5﹣t）=625×12×5×10，或12×2t（5﹣t）=1925×12×5×10，
解得t＝2或3，
∴当t＝2或3时，线段PQ分三角形AOB的面积比为6：19．
14．解：（1）∵∠C＝90°，AB=43，BC=23，
∴AC=AB2−BC2=6．
∵BCAB=12，∠C＝90°，
∴∠A＝30°．
∴∠B＝60°．
当点E与点C重合时，如图，此时点N与点B重合．
∵点D是边AB的中点，∠C＝90°，
∴DE=12AB＝23．
∴ME＝MC＝BE•tan∠MBC＝23×33=2；
（2）连接MD，过点M作MF⊥AD于点F，如图，
∵点D是边AB的中点，AB＝43，
∴AD＝23．
∵MN是线段DE的垂直平分线，
∴MD＝ME＝y．
∵∠A＝30°，MF⊥AD，
∴MF=12AM=12x．
∴AF＝AM•cs30°=32x．
∴DF＝AD﹣AF＝23−32x．
在Rt△MDF中，
∵DF2+MF2＝MD2，
∴y2=(23−32x)2+(12x)2，
∴y2＝x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，
∵（x﹣3）2+3＞0，
∴y=x2−6x+12．
∵作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，
∴当点E与点C重合时，点N与点B重合，此时AM取得最大值，
由（1）知，AM的最大值为4，
∴x的取值范围为：0≤x≤4．
∴y关于x的函数解析式为y=x2−6x+12．，函数的定义域为：0≤x≤4．
（3）①当MN经过边AC的中点时，AM=12AC＝3，
∴x＝3．
∴ME＝y=32−6×3+12=3；
②当MN经过边BC的中点时，BN＝CN=12BC=3．
连接DN，设MN与DE交于点H，如图，
∵D为AB的中点，N为BC 的中点，
∴DN∥AC，DN=12AC=12×6＝3．
∴∠MED＝∠NDE，
∵MN是线段DE的垂直平分线，
∴EH＝DH，∠EHM＝∠DHN＝90°．
在△MEH和△NDH中，
∠MED=∠NDEEH=DH∠EHM=∠DHN，
∴△MEH≌△NDH（ASA）．
∴ME＝DN＝3．
综上，当MN经过边AC的中点时，ME=3；当MN经过边BC的中点时，ME＝3．
15．解：（1）根据点P的运动可知，OP＝2t，BR＝2.5t，AB＝10cm，
∴P（2，0）；
如图1，过点R作RC⊥OB于点C，
∵AO⊥OB，
∴RC∥OA，
∴BR：BA＝BC：BO＝RC：OA，即2.5t：10＝BC：8＝RC：6；
∴BC＝2t，RC＝1.5t；
∴OC＝8﹣2t，
∴R（8﹣2t，1.5t）；
故答案为：（2t，0）；（8﹣2t，1.5t）；
（2）如图2，过Q作QE⊥AB轴于E，
∴∠AEQ＝∠AOB＝90°，
∴△AQE∽△ABO，
∴AQ：AB＝AE：AO＝QE：OB，即1.5t：10＝AE：6＝QE：8，
∴AE＝0.9t，QE＝1.2t，
∴S△PQR＝S△OAB﹣S△OPQ﹣S△BRP﹣S△ARQ
=12×6×8−12×2t×（6﹣1.5t）−12×1.5t×（8﹣2t）−12×1.2t×（10﹣2.5t）
=92（t﹣2）2+18（0＜t≤4），
∴当t＝2时，S△PQR最小＝18；
（3）由于△PQR的直角顶点不确定，可分以下三种情况：
①点P为直角顶点，如图3（1），
过点R作RC⊥x轴于点C，则BC＝2t，RC＝1.5t，
∠RCP＝∠QOP＝90°，
∵∠QPO+∠RPC＝∠RPC+∠PRC＝90°，
∴∠QPO＝∠PRC，
∴△OQP∽△CPR，
∴OQ：OP＝PC：RC，
由上可知，PC＝8﹣4t，OQ＝6﹣1.5t，OP＝2t，RC＝1.5t，
∴6−1.5t2t=8−4t1.5t，
解得t＝0（舍）或t=1823；
②点Q为直角顶点，如图3（2），
过点R作RF⊥OA于点F，
则AF：AO＝AR：AB＝RF：OB，即AF：6＝（10﹣2.5t）：10＝RF：8，
∴AF＝6﹣1.5t，RF＝8﹣2t，
∴FQ＝1.5t﹣（6﹣1.5t）＝3t﹣6，
∵∠RFQ＝∠QOP＝90°＝∠RQP，
∴∠RQF+∠FRQ＝∠RQF+∠OQP＝90°，
∴∠FRQ＝∠OQP，
∴△FRQ∽△OQP，
∴RF：OQ＝FQ：OP，即（8﹣2t）：（6﹣1.5t）＝（3t﹣6）：2t，
解得t＝4或t＝18（舍）；
③点R为直角顶点，如图3（3），
分别过点Q，P作AB的垂线，垂足分别为N，M，则△QNR∽△RMP，
∴QN：NR＝RM：PM，
由（2）可知，AN＝0.9t，QN＝1.2t，
∵PM⊥AB，
∴∠BMP＝∠AOB＝90°，
∴△PBM∽△ABO，
∴PM：BM：PB＝OA：OB：AB＝3：4：5，
∴PM=35PB＝4.8﹣1.2t，BM=45PB＝6.4﹣1.6t，
∴RM＝2.5t﹣BM＝4.1t﹣6.4，
∴1.2t：（10﹣3.4t）＝（4.1t﹣6.4）：（4.8﹣1.2t），
解得t＝2或t=6425．
综上，t为1823或4或2或6425时，△PQR为直角三角形．
16．解：（1）∵BE＝y，BC＝2，
∴CE＝2﹣y，
由折叠的性质可知：DE＝BE＝y，
在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，即x2+（2﹣y）2＝y2，
整理得：y=14x2+1（0≤x≤2）；
（2）当CD＝CE时，x＝2﹣y，即x＝2−14x2﹣1，
整理得：x2+4x﹣4＝0，
解得：x1＝22−2，x2＝﹣22−2（舍去），
∴当CD＝CE时，x＝22−2；
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
由勾股定理得：AC=AB2−BC2=42−22=23，
∴AD＝AC﹣CD＝23−x，
由折叠的性质可知：DF＝BF，
∴AF＝4﹣DF，
当∠ADF＝90°时，
∵∠A＝30°，
∴AF＝2DF，即4﹣DF＝2DF，
∴DF=43，
∴AD=3DF=433，
∴x＝CD＝AC﹣AD=233，
当∠AFD＝90°时，
∵∠A＝30°，
∴AD＝2DF，
在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，即DF2+（4﹣DF）2＝（2DF）2，
解得：DF1＝23−2，DF2＝﹣23−2（舍去），
∴AD＝43−4，
∴x＝CD＝AC﹣AD＝4﹣23，
综上所述：△ADF为直角三角形时，x的值为233或4﹣23．
17．解：（1）∵A（4，0），B（0，﹣2），将线段AB沿y轴向上平移4个单位，
∴C（0，2），D（4，4）；
（2）∵A（4，0），B（0，﹣2），
∴直线AB的解析式为y=12x﹣2，
∵S△CDE=32S△AOB，
∴E点在与AB平行且的直线上，分别为y=12x﹣1或y=12x+5，
∴E（2，0）或（﹣10，0）；
（3）x轴上存在点P，使得△A′B′P为等腰直角三角形，
分三种情况，设B'（0，n），
①当∠B'A'P＝90°时，连接AA'，过点B'作B′C∥x轴，交AA'延长线于点C，如图，
∵∠B'A'P＝90°，
∴∠PA'A+∠B'A'C＝90°，
∵∠PA'A＝∠A'B'C，
又∵∠PAA'＝∠C＝90°，A'P＝A'B'，
∴△AA'P≌△CB'A'（AAS），
∴AA'＝CB'＝4，
∵BB'＝﹣2﹣n，
由平移的性质得AA'＝BB'＝﹣2﹣n，
∴﹣2﹣n＝4，
∴n＝﹣6，
∴B'（0，﹣6）；
②当∠A'PB'＝90°时，B'P＝A'P，
∵∠B'PO+∠APA'＝90°，∠APA'+∠PA'A＝90°，
∴∠B'PO＝∠PA'A，
∴△OB'P≌△APA'（AAS），
∴OB'＝AP＝﹣n，OP＝AA'＝﹣2﹣n，
∴OP+AP＝OA＝4＝﹣2﹣n﹣n，
解得n＝﹣3，
∴B'（0，﹣3）；
③当∠A'B'P＝90°时，B'P＝A'B'，
过点B'作CD⊥y轴，作PD⊥x轴，A'C⊥CD分别交于点D和点C，如图，
由题意知，B′C＝OA＝4，
∵∠DB'P+∠CB'A'＝90°，∠DPB'+∠DB'P＝90°，
∴∠CB'A'＝∠DPB'，
∴△B'DP≌△A'CB'（AAS），
∴DP＝B'C＝4＝﹣n，
∴n＝﹣4，
∴B'（0，﹣4）；
∴点B′坐标为：B'（0，﹣6），B'（0，﹣3），B'（0，﹣4）．
18．（1）证明：由题意知，BE＝2t，AD＝4t，则CD＝AC﹣AD＝60﹣4t，AE＝AB﹣BE＝30﹣2t，
∵DF⊥BC，∠A＝60°，∠B＝90°，
∴∠C＝30°，∠DFC＝∠B＝90°，即DF∥AE．
∴DF=12DC=30−2t，
∴DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形AEFD是平行四边形，且AE＝30﹣2t，AD＝4t，
∴当AD＝AE，即30﹣2t＝4t时，四边形AEFD是菱形．
解得t＝5，
故当t＝5时，四边形AEFD为菱形；
（3）解：①当∠AED＝90°时，△AED∽△ABC，
∴ADAC=AEAB，
∴4t60=30−2t30，
∴t＝7.5秒；
②当∠ADE＝90°时，△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC．
∴4t30=30−2t60．
∴t＝3秒．
∴t＝3秒或7.5秒时△AED与△ABC相似．
19．解：（1）如图（2），设AC交BE于点O，
∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD=2AE，AB=2AC，
∴∠EAC＝∠DAB，ABAC=ADAE=2，
∴△DAB∽△EAC，
∴BDEC=ADAE=2，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠BAO＝∠CEO＝45°，
故答案为：2；45；
（2）如图（3），设AC交BF于点O，
∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD=2AE，AB=2AC，
∴∠EAC＝∠DAB，ABAC=ADAE=2，
∴△DAB∽△EAC，
∴BDEC=ADAE=2，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠FOC，
∴∠BAO＝∠CFO＝45°，
∴BDEC=2，∠BFC＝45°，
即（1）中的两个结论仍然成立；
（3）如图（4）﹣1中，当CE⊥AD于O时，
∵AE＝DE＝2，AC＝BC＝25，∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AD=2AE＝22，
∵EO⊥AD，
∴OD＝OA＝OE=2，
∴OC=AC2−AO2=32，
∴EC＝OE+OC＝42，
∵BD=2EC＝8；
如图（4）﹣2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O，
同法可得OD＝OA＝OE=2，OC＝32，EC＝3﹣1＝22，
.BD=2EC＝4，
综上所述，BD的长为8或4．
20．解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝5：7，∴∠AOC＝180°×512=75°，
∵∠BOD＝∠AOC＝75°，
∴∠DON＝∠BOD﹣60°＝15°；
（2）①如图，当0°＜α≤105°时，
∵M1N1∥CD，
∴∠DON1＝∠N1＝30°，
∴α＝∠DON1﹣∠DON＝30°﹣15°＝15°，
②如图，当105°＜α≤360°时，
∵M2N2∥CD，
∴∠COM2+∠M2＝180°，
∴∠COM2＝180°﹣90°＝90°，
∴α＝∠BOC+∠COM2＝105°+90°＝195°；
（3）①如图，当0°＜α≤60°时，
∵∠COM＝105°﹣α，∠BON＝60°﹣α，
∴∠COM﹣∠BON＝105°﹣α﹣（60°﹣α）＝45°，
②如图，当60°＜α＜105°时，
∵∠COM＝105°﹣α，∠BON＝α﹣60°，
∴∠COM+∠BON＝105°﹣α+（α﹣60°）＝45°．
综上，∠COM﹣∠BON＝45°或∠COM+∠BON＝45°．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/14 16:40:58；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353题号
1
2
3
4
5
答案
D
D
D
D
C