2026年中考数学一轮复习考点强化训练－第17讲 相似（学生版+教师版）

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1．[2024江苏连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A. 甲和乙B. 乙和丁C. 甲和丙D. 甲和丁
【答案】D
2．[2024四川泸州]宽与长的比是5−12的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B'处，AB'交CD于点E，则sin∠DAE的值为 （ ）
A. 55B. 12C. 35D. 255
【答案】A
【解析】根据题意，设AD=BC=(5−1)a，则AB=CD=2a，
由翻折可知∠EAC=∠BAC.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠EAC，∴AE=EC.
设DE=x，则AE=EC=2a−x，
在Rt△ADE中，
[(5−1)a]2+x2=(2a−x)2，
解得x=5−12a，
∴DE=5−12a，AE=2a−5−12a=5−52a.
在Rt△DAE中，
sin∠DAE=DEAE=5−12a5−52a=55.
3．[2025青海]如图，在△ABC中，DE//BC，且AD=3，DB=2，则AEAC的值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】35
4．[2025四川成都]若ab=3,则a+bb的值为_ _ _ _ .
【答案】4
考点2 相似的性质与判定
5．[2024重庆A卷]若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A. 1:3B. 1:4C. 1:6D. 1:9
【答案】D
6．[2025贵州]如图,已知△ABC∼△DEF,AB:DE=2:1,若DF=2,则AC的长为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
7．[2025黑龙江绥化]两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（ ）
A. 14cmB. 18cmC. 30cmD. 34cm
【答案】B
8．[2025广东]如图,把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是_ _ _ _ _ _ .
【答案】13
9．[2024江苏扬州]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'.设AB=36cm,A'B'=24cm，小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B'的距离为_ _ _ _ cm.
【答案】20
【解析】设小孔O到A'B'的距离为xcm(x>0)，
由题意可得△ABO∼△A'B'O，
则ABA'B'=3624=30x，∴x=20．
10．[2025甘肃]“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”风筝古称纸鸢,起源于春秋战国时期,风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活,某校开展风筝制作活动,小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝,风筝的形状如图所示,其中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应边之比为3:1,如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm,那么大风筝两条对角线长的和为_ _ _ _ cm.
【答案】195
考点3 图形的位似
11．[2025四川眉山]如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（ ）
A. 2:1B. 1:2C. 4:1D. 1:4
【答案】B
12．[2024重庆二模]如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 16
【答案】B
【解析】∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3，
∴△ABC与△DEF的面积比为4:9.
∵△ABC的面积为4，
∴△DEF的面积是9.
13．[2025内蒙古]如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2),以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB位似,若△OA'B'与△OAB的相似比为2:1,则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A. (−2,−1)B. (−4,−2)C. (−1,−2)D. (−2,−4)
【答案】B
14．[2025安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）.已知点A和A1的坐标分别为(−1,−3)和(2,6).
（1） 在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2） 以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1.
【答案】
解：（1） 点D如图所示,点D的坐标为(−2,−1).
（2） 如图所示,△A1B1C1即为所求作的三角形.
综合提升练
15．[2025四川内江]阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（ ）
A. 80cmB. 60cmC. 50cmD. 40cm
【答案】B
16．[2025江苏连云港]如图,在△ABC中,∠ACB=90∘ ,∠CAB=30∘ ,AD平分∠CAB,BE⊥AD,E为垂足,则ADBE的值为（ ）
A. 23B. 733C. 532D. 833
【答案】A
【解析】延长AC与BE，使其相交于点F，
易得△ACD∼△BCF，∴ADBF=ACBC，
∵∠ACB=90∘ ，∠CAB=30∘ ，
∴AB=2BC，AC=3BC，
∴ADBF=ACBC=3，∴AD=3BF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAE=∠FAE，
∵BE⊥AD，∴∠AEF=∠AEB=90∘ ，
∴∠F=∠ABF，∴AB=AF，
∴BE=EF=12BF，
∴ADBE=3BF12BF=23.
17．[2024山东威海]如图，在▱ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E在BC上，点F在CD上,连接AE,AF,EF,EF交AC于点G.下列结论错误的是 （ ）
A. 若CECF=ADAB,则EF//BD
B. 若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,则EF//BD
C. 若EF//BD,CE=CF,则∠EAC=∠FAC
D. 若AB=AD,AE=AF,则EF//BD
【答案】D
【解析】对于选项A，
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∴CECF=ADAB=BCCD，
又∵∠ECF=∠BCD，
∴△ECF∼△BCD，
∴∠FEC=∠DBC，
∴EF//BD.故选项A中结论正确.
对于选项B，
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF,
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90∘ ，
又∵AE=AF，∴△ABE≌△ADF，
∴AB=AD,BE=DF，
∴ 四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，
∴BC−BE=CD−DF，即CE=CF，
∴CECF=ADAB=1，
由选项A得EF//BD.故选项B中结论正确.
对于选项C，
∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE，
∵EF//BD，
∴∠CEF=∠CBD,∠CFE=∠CDB，
∴∠CDB=∠CBD，∴CB=CD,
∴ 四边形ABCD是菱形，
∴∠ACE=∠ACF，
又∵AC=AC，∴△ACE≌△ACF，
∴∠EAC=∠FAC.故选项C中结论正确.
对于选项D，
如图，以A为圆心，AE长为半径的圆弧交BC于点E,E'，交CD于点F,F'，则AE'=AF'=AE=AF,但EF与BD不平行，E'F'与BD不平行.故选项D中结论错误.
18．[2025浙江]如图,五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0).若DE的长为3,则D'E'的长为（ ）
A. 72B. 4C. 92D. 5
【答案】C
19．[2025吉林长春]将直角三角形纸片ABC(∠C=90∘)按如图所示的方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A. MN//DE//PQB. BC=2DE=4MN
C. AN=BQ=12NQD. MNDE=DEPQ=PQBC
【答案】D
【解析】由折叠可得，DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
∴MN//DE//PQ//BC，故A中结论正确，不符合题意；
∴△ADE∼△ACB∼△AMN，
∴DEBC=ADAC=12，MNDE=AMAD=12，
∴BC=2DE，DE=2MN，
∴BC=4MN，
∴BC=2DE=4MN，故B中结论正确，不符合题意；
∵MN//PQ//BC，
∴PCAC=BQAB=14，AMAC=ANAB=14，
PMAC=QNAB=12，
∴BQ=AN=14AB，QN=12AB,∴AN=BQ=12NQ，故C中结论正确，不符合题意；
∵△ADE∼△ACB∼△AMN∼△APQ，
∴MNDE=AMAD=12，DEPQ=ADAP=23，
PQBC=APAC=34，
∴MNDE≠DEPQ≠PQBC，故D中结论错误，符合题意.
故选D.
20．[2024四川巴中]如图是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1，则OG=（ ）
A. 125564B. 12564C. 6427D. 32327
【答案】C
【解析】因为题图中12个直角三角形都相似，360∘÷12=30∘ ，
所以题图中直角三角形中较小的锐角为30∘ .
在Rt△OAB中，cs∠AOB=OAOB，
因为∠AOB=30∘ ，所以OAOB=32，
同理可得，
OBOC=32，OCOD=32,ODOE=32，OEOF=32，OFOG=32，所以OAOG=(32)6=2764.
又因为OA=1，所以OG=6427.
21．[2025河北]如图,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∼△DCN,则这个条件是（ ）
A. ∠B+∠4=180∘B. CD//AB
C. ∠1=∠4D. ∠2=∠3
【答案】D
【解析】∵AE//BC，∴∠AEM=∠CND.若∠B+∠4=180∘ ，则CD//BM，∴∠CDN=∠AME，∴△MAE∼△DCN；
若CD//AB，则同上可判定△MAE∼△DCN；
若∠1=∠4，则∠MAE=∠DCN，
又∵∠AEM=∠CND，
∴△MAE∼△DCN；
由∠2=∠3只能得出∠AEM=∠CND=∠CDN，不能判定△MAE∼△DCN.
故选D.
22．[2025四川宜宾]如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D,E分别在边AB,AC上，AD=2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则AEEC的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
23．[2025黑龙江绥化]在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为(3,7)，(−9,−21)，则△ABC与△A'B'C'的相似比为_ _ _ _ _ _ .
【答案】13
24．[2024江苏苏州]如图，△ABC中，∠ACB=90∘ ,CB=5,CA=10,点D,E分别在AC,AB边上，AE=5AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE,CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD=_ _ _ _ _ _ .
【答案】103
【解析】∵AE=5AD，
∴ 设AD=x，则AE=5x，
∵△ADE沿DE翻折得到△FDE，
∴DF=AD=x，∠ADE=∠FDE，
过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，
则∠AHE=∠ACB=90∘ ，
又∵∠A=∠A，∴△AHE∼△ACB，
∴EHBC=AHAC=AEAB，
∵CB=5，CA=10，
∴AB=AC2+BC2=102+52=55，
∴EH5=AH10=5x55，
∴EH=x，AH=2x，则DH=AH−AD=x=EH=DF，
∴Rt△EHD是等腰直角三角形，
∴∠HDE=∠HED=45∘ ，则∠ADE=∠EDF=135∘ ，
∴∠FDM=135∘−45∘=90∘ ，
在△FDM和△EHM中，
∠FDM=∠EHM=90∘,∠DMF=∠HME,DF=EH,
∴△FDM≌△EHM(AAS)，
∴DM=MH=12x，
∴CM=AC−AD−DM=10−32x，
∴S△CEF=S△CME+S△CMF=12CM⋅EH+12CM⋅DF=12(10−32x)×x×2=(10−32x)x，
S△BEC=S△ABC−S△AEC=12×10×5−12×10x=25−5x，
∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍，
∴(10−32x)x=2(25−5x)，
则3x2−40x+100=0，
解得x1=103，x2=10（舍去），则AD=103．
25．[2025山东烟台]如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(6,32),△ABC的顶点A的坐标为(4,3).以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似,相似比为2,且与△ABC位于点P同侧;以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似,相似比为2,且与△A1B1C1位于点P同侧……按照以上规律作图,点A3的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(−10,272)
【解析】设直线AP的解析式为y=kx+b，
则6k+b=32,4k+b=3,解得k=−34,b=6,
则直线AP的解析式为y=−34x+6，
AP=(6−4)2+(32−3)2=52，
由题意得AP1=2AP=5，AP2=2AP1=10，AP3=2AP2=20，
设A3的坐标为(m,−34m+6)，
则(m−6)2+(−34m+6−32)2=202，
解得m1=−10，m2=22（舍去），
当m=−10时，−34m+6=272，
∴ 点A3的坐标为(−10,272).
26．[2024山东济宁]如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90∘ ,AD是△ABC的角平分线.
（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点E,F.
（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G.
（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H.
（4）画射线AH.
（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M.
（6）连接MC,MB.MB分别交AC,AD于点N,P.
根据以上信息，下面五个结论中正确的是_ _ _ _ .（只填序号）
①BD=CD;
②∠ABM=15∘ ;
③∠APN=∠ANP;
④AMAD=32;
⑤MC2=MN⋅MB.
【答案】①②⑤
【解析】∵AB=AC,∠BAC=90∘ ,AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC,AD=BD=CD，故①正确.
易知△ADB,△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD=∠CAD=45∘ ，
连接EF，HG，
由题知BE=BF=AH=AG，EF=HG，
∴△BEF≌△AHG(SSS)，
∴∠HAG=∠EBF=∠BCA=45∘ ,
∴AH//BC,
过M作MM'⊥BC于M',
∴MM'=AD=12BC,
又∵BM=BC,
∴MM'=12BM,
∴∠MBC=30∘ ,
∴∠ABM=∠ABC−∠MBC=15∘ ,故②正确.
易知∠BPD=∠APN=60∘ ，
∴∠ANP=180∘−45∘−60∘=75∘ ，∴∠APN≠∠ANP，故③不正确.
∵∠BCM=∠BMC=180∘−∠MBC2=75∘ ,
∴∠ACM=∠BCM−∠ACB=30∘ ，
∴∠MCN=∠MBC,
又∵∠NMC=∠CMB,
∴△NMC∼△CMB.
∴MN:MC=MC:MB,
∴MC2=MN⋅MB，故⑤正确.
在Rt△APM中，∠APN=60∘ ,
∴sin∠APN=AMPM=32，
∵BP>BD=BC2=BM2,
∴PM