2026年中考数学一轮复习考点强化训练－第16讲 等腰三角形与直角三角形（学生版+教师版）

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考点1 等腰三角形
1．[2025江苏扬州]在如图所示的房屋人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是（ ）
A．∠ADB=∠ADCB．∠B=∠C
C．BD=CDD．AD平分∠BAC
2．[2025安徽]如图，在△ABC中，∠A=120∘ ，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=3，则AC的长是（ ）
A．43B．6C．23D．3
3．[2024山东泰安]如图，直线l//m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21∘ ，则∠ACD的度数是（ ）
A．45∘B．39∘C．29∘D．21∘
4．[2025四川凉山州]如图，AB=AC，AE=AD，点E在BD上，∠EAD=∠BAC，∠BDC=56∘ ，则∠ABC的度数为（ ）
A．56∘B．60∘C．62∘D．64∘
5．[2024湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为40∘ ,则它的顶角的度数为_ _ _ _ ​∘ .
6．[2024贵州]如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD.若AB=5，则AD的长为_ _ _ _ .
考点2 直角三角形
7．[2025陕西]如图，在△ABC中，∠ACB=90∘ ，∠A=20∘ ，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．[2024四川眉山]如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
图1图2
A．24B．36C．40D．44
9．[2024江苏南京校级模拟]下列各组数中是勾股数的为（ ）
A．3,4,5B．1,1,2C．7，8，9D．13，84，85
10．[2025江苏扬州]如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90∘ .若AC=4,BC=8,则DF的长是_ _ _ _ .
11．[2025江苏扬州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出,不仅简化了勾股数的生成过程,也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;……根据上述规律,写出第⑤组勾股数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．[2025广西]如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=2,则AD=_ _ _ _ _ _ .
综合提升练
13．[2025四川德阳]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE=（ ）
A．3B．2C．1D．12
14．[2025黑龙江龙东地区]如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘ ，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=4，CE=3，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为（ ）
A．52B．125C．2D．135
15．[2024四川自贡]如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60∘ ,则新钢架减少用钢（ ）
A．(24−123)mB．(24−83)m
C．(24−63)mD．(24−43)m
16．[2025四川遂宁]如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
17．[2025江苏淮安一模]如图，在△ABC中，∠ACB=90∘ ，∠BAC=30∘ ，BC=1，分别以AB，AC为边作正三角形ABD，ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长是（ ）
A．2B．3C．53D．132
18．某社区为了让居民享受“开窗见景，推门见绿”的环境，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场.图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB=25m，BC=9m，CD=12m，DA=20m，∠C=90∘ ，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ）
图1图2
A．40 800元B．91 600元C．60 800元D．48 000元
19．[2024重庆B卷]如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘ ，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2，则AD的长度为_ _ _ _ .
20．[2025四川广安]如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90∘ ，AB=AC=4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为_ _ _ _ _ _ .
21．[2025四川南充]如图,∠AOB=90∘ ,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧;再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是_ _ _ _ .
22．[2025江苏苏州]如图,在△ABC中,AC=3,BC=2,∠C=60∘ ,D是线段BC上一点（不与端点B,C重合）,连接AD.以AD为边,在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段AC交于点F,则线段CF长度的最大值为_ _ _ _ _ _ .
23．[2024甘肃临夏州]如图，等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120∘ ，将△ABC沿其底边上的中线AD向下平移，使A的对应点A'满足AA'=13AD，则平移前、后两三角形重叠部分的面积是_ _ _ _ _ _ .
24．[2025四川德阳]等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果AB=1，那么这个等宽曲线的周长是_ _ _ _ .
25．[2024湖北武汉]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为S1,正方形MNPQ的面积为S2.若BE=kAE(k>1),则用含k的式子表示S1S2的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
26．[2023江苏苏州]如图,∠BAC=90∘ ,AB=AC=32.过点C作CD⊥BC,延长CB到E,使BE=13CD，连接AE,ED.若ED=2AE,则BE=_ _ _ _ _ _ .（结果保留根号）
27．[2024黑龙江大庆]如图①，直角三角形的两个锐角分别是40∘ 和50∘ ，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：以两个小正方形的边为斜边向外分别作锐角为40∘ 和50∘ 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为_ _ _ _ .
图① 图② 图③
28．[2024黑龙江齐齐哈尔]如图，数学活动小组在用电脑软件绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0)，点B的坐标为(1,0)，点C在第一象限，∠OBC=120∘ .将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O'，点C的对应点为C'，OC与O'C'的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心；点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2 024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
29．[2025河南]定义:有两个内角的差为90∘ 的三角形叫作“反直角三角形”.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P为边BC上一点,若△APC为“反直角三角形”,则BP的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
30．[2025湖南]已知a，b，c是△ABC的三条边长，记t=(ac)k+(bc)k，其中k为整数.
（1） 若三角形为等边三角形，则t=_ _ _ _ ;
（2） 下列结论正确的是_ _ _ _ .（写出所有正确结论的序号）
①若k=2，t=1，则△ABC为直角三角形；
②若k=1，a=12b+2，c=1，则5