2026年中考数学一轮复习考点强化训练－第21讲 圆的有关概念及性质（学生版+教师版）

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1．[2025四川宜宾]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8，OC=5，则OD的长是（ ）
A. 3B. 2C. 6D. 52
【答案】A
2．[2024内蒙古通辽]如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1 m，CD=2.5 m，则拱门所在圆的半径为（ ）
A. 1.25 mB. 1.3 mC. 1.4 mD. 1.45 m
【答案】B
【解析】连接OA，
∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=1 m，
∴CD⊥AB，AD=BD=0.5 m，
设拱门所在圆的半径为r m，
∵CD=2.5 m，∴OD=(2.5−r)m，
∴r2=0.52+(2.5−r)2，解得r=1.3，
∴ 拱门所在圆的半径为1.3 m.
3．[2024四川凉山州]数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB⌢于点C，测出AB=40 cm，CD=10 cm，则圆形工件的半径为（ ）
A. 50 cmB. 35 cmC. 25 cmD. 20 cm
【答案】C
【解析】设圆心为O，连接OB，
∵CD垂直平分AB，AB=40 cm，
∴ 点O在直线CD上，BD=20 cm，
设圆形工件的半径为r cm,则OC=OB=r cm,
∵CD=10 cm，∴OD=(r−10)cm，
∵∠ODB=90∘ ，∴OD2+BD2=OB2，
∴(r−10)2+202=r2，解得r=25，
即圆形工件的半径为25 cm.
4．[2025湖南长沙]如图,AB为⊙O的弦,OC⊥AB于点C,连接OA,OB,若AB=OA,AC=3,则OA的长为_ _ _ _ .
【答案】6
5．[2025四川成都]如图,⊙O的半径为1,A,B,C是⊙O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形,连接AC,则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】π6
【解析】如图，连接OB，交AC于点D，则OA=OB=1，
∵ 四边形OABC为平行四边形，OA=OC，
∴ 四边形OABC为菱形，
∴OA=AB=OB，S△AOB=S△ABC，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60∘ ，
∴ 阴影部分的面积=S扇形OAB−S△OBA+S△ABC=S扇形OAB=60π360×12=π6.
6．[2025江西模拟]某城市有一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”，如图是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分AB=20 m，C为AB⌢的中点，O为圆心，连接OC.
（1） 求证：OC⊥AB；
（2） 经测量，C到AB的距离为2 m，求⊙O的半径.
【答案】
（1） 证明：设AB与OC交于点D，
∵C为AB⌢的中点，∴AC⌢=BC⌢，
∴AD=BD，∴OC⊥AB.
（2） 解：连接OB，根据题意得CD=2 m，
∵AD=BD，∴BD=12AB=10 m，
设⊙O的半径为r m，则OB=OC=r m，
OD=OC−CD=(r−2)m，
在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，即(r−2)2+102=r2，
∴r=26，∴⊙O的半径为26 m.
考点2 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系
7．[2025重庆]如图,点A,B,C在⊙O上,∠AOB=100∘ ,∠C的度数是（ ）
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘
【答案】B
8．[2025湖南长沙]如图,AC,BC为⊙O的弦,连接OA,OB,OC.若∠AOB=40∘ ,∠OCA=30∘ ,则∠BCO的度数为（ ）
A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 55∘
【答案】C
9．[2025山西]如图,AB为⊙O的直径,点C,D是⊙O上位于AB异侧的两点,连接AD,CD.若AC⌢=BC⌢,则∠D的度数为（ ）
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘
【答案】B
[2024江苏连云港]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B,则∠1+∠2+∠3+∠4=
_ _ _ _ ​∘ .
【答案】90
【解析】∵AB是圆的直径，
∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180∘ ，所对的圆周角的度数为90∘ ，
∵∠1,∠2,∠3,∠4所对的弧的和为半圆，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=12×180∘=90∘ .
11．[2024四川南充]如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C,D均在⊙O上，∠BOC=30∘ ,则∠ADC=_ _ _ _ 度.
【答案】75
12．[2025安徽]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180∘ .
（1） 求证：OC//AD；
（2） 若AD=2，BC=23，求AB的长.
【答案】
（1） 证明:由圆周角定理可知，∠AOC=2∠ABC.
因为∠DAB+2∠ABC=180∘ ，所以∠DAB+∠AOC=180∘ ,故OC//AD.
（2） 解:如图，连接BD,交OC于点E.
由题意知∠ADB=90∘ ,O是AB的中点.
又因为OC//AD,所以OC⊥BD，OE是△ABD的中位线,所以OE=12AD=1.
设半圆的半径为r,则OB=OC=r，CE=r−1.
由勾股定理知OB2−OE2=BE2=BC2−CE2,
则r2−1=(23)2−(r−1)2,所以r2−r−6=0,解得r1=3,r2=−2（舍去）.
故AB=2r=6.
考点3 圆内接多边形
13．[2025甘肃]如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB⌢=BC⌢,连接BD,若∠ABC=70∘ ,则∠BDC的度数为 （ ）
第13题图
A. 20∘B. 35∘C. 55∘D. 70∘
【答案】C
14．[2024吉林]如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE//AD，交CD于点E.若∠BEC=50∘ ，则∠ABC的度数是（ ）
第14题图
A. 50∘B. 100∘C. 130∘D. 150∘
【答案】C
【解析】∵BE//AD，
∴∠ADC=∠BEC=50∘ ，
∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC=180∘−∠ADC=130∘ .
15．[2024四川宜宾]如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则AB+ACAD的值为（ ）
A. 2B. 3C. 22D. 23
【答案】A
【解析】如图，连接BD，CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90∘ ，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=45∘ ，
∴BD⌢=DC⌢，
∴BD=CD，
在四边形ABDC中，
∠ACD+∠ABD=180∘ ，
将△ADC绕D点逆时针旋转90∘ 得到△A'DB，点A的对应点为点A',则A，B，A'三点共线，
∴AB+AC=AB+A'B=AA'，
由旋转可知∠A'DB=∠ADC，A'D=AD，
∴∠A'DA=∠A'DB+∠BDA=∠ADC+∠BDA=∠BDC=90∘ ，
∴ 在等腰直角三角形A'DA中，sin A'=sin 45∘=ADAA'=22，
∴AB+ACAD=AA'AD=2.
16．[2024山东滨州]如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D=_ _ _ _ ​∘ .
【答案】60
【解析】∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180∘ ，
∵ 四边形OABC是菱形，
∴∠B=∠AOC，
∴∠AOC+∠D=180∘ ，
由圆周角定理得∠D=12∠AOC，即∠AOC=2∠D,
∴2∠D+∠D=180∘ ,
∴∠D=60∘ .
综合提升练
17．[2025新疆]如图,CD是⊙O的直径,AB是弦,AB⊥CD,∠ADC=30∘ ,则∠BOC=（ ）
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘
【答案】C
18．[2025四川南充]如图,AB是⊙O的直径,AD⊥AB于点A,OD交⊙O于点C,AE⊥OD于点E,交⊙O于点F,F为弧BC的中点,P为线段AB上一动点,若CD=4,则PE+PF的最小值是（ ）
A. 4B. 27C. 6D. 43
【答案】C
【解析】如图，作点F关于AB的对称点F'，连接EF'，AC,OF，
则EF'与AB的交点就是所求的点P,
此时PE+PF=EF'.
∵F为BC⌢的中点,∴∠CAF=∠BAF，
∵AE⊥OD，∴∠AEC=∠AEO=90∘ ，又∵AE=AE，
∴△AEC≌△AEO(ASA)，∴AC=OA，
∵OA=OC，∴AC=OA=OC，∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=∠OAC=60∘ ，∵AO⊥AD，
∴∠DAO=90∘ ，∴∠D=30∘ ，
∴OA=12OD.
∵CD=4，∴OA=12(OA+4)，
解得OA=4，
∴AE=OA⋅sin∠AOC=4×sin 60∘=23，
∵OE⊥AF，∴AF=2AE=43，
连接AF',∵ 点F与点F'关于AB对称，
∴AF⌢=AF'⌢,BF⌢=BF'⌢，
∴AF=AF',∠BAF=∠BAF'，
∵∠OAC=60∘ ,∠CAF=∠BAF，
∴∠CAF=∠BAF=∠BAF'=30∘ ，
∴∠FAF'=60∘ ，∴△AFF'为等边三角形,
∴EF'⊥AF(E，P，F'三点共线)，
∴EF'=AF'⋅sin 60∘=43×32=6，
∴PE+PF的最小值为6,故选C.
19．[2025安徽淮北三模]如图，AB为半圆的直径，C为AB⌢的中点，P为BC⌢上任意一点，连接AP，CP，过点C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD.若AB=2，则BD的最小值为（ ）
A. 5+1B. 25−2C. 25+2D. 5−1
【答案】D
【解析】如图，连接AC,以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC=90∘ ，连接BC，BQ，DQ，
由条件可知∠APC=45∘ ，
∵CD⊥CP，
∴∠DCP=90∘ ，
∴∠PDC=45∘ ，∠ADC=135∘ ，
易知点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ长为半径的圆弧，
由条件可知△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，AC2+BC2=AB2，
∴AC=2，
在Rt△ACQ中，AQ=CQ，AQ2+CQ2=AC2，
∴AQ=CQ=1，∴DQ=1,
∵∠QAB=∠QAC+∠CAB=90∘ ，
∴BQ=AQ2+AB2=5，
∴BD≥BQ−DQ=5−1，
当Q,D,B三点共线时，BD取得最小值，最小值为5−1，
故选D.
20．[2025广西玉林三模]《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，其中第九章“勾股”中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB的长为（ ）
A. 6.5寸B. 12寸C. 13寸D. 26寸
【答案】D
21．[2024陕西]如图，BC是⊙O的弦，连接OB,OC,∠A是BC⌢所对的圆周角，则∠A与∠OBC的度数的和是_ _ _ _ _ _ .
【答案】90∘
【解析】∵∠A是BC⌢所对的圆周角，
∴∠A=12∠O.
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
又∵∠O+∠OBC+∠OCB=180∘ ，
∴∠O+2∠OBC=180∘ ，
∴12∠O+∠OBC=90∘ ，
即∠A+∠OBC=90∘ .
22．[2024江西]如图,AB是⊙O的直径，AB=2,点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB,将DBE⌢沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2−3或2或2+3
【解析】∵AB=2,AB是⊙O的直径，
∴0