华东师大版（2024）九年级数学上册 第23章 解直角三角形 章末核心要点分类整合（课件）

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章末核心要点分类整合第23章 解直角三角形1. 直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)；(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(4)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 3. 特殊角的三角函数值4. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)检验，得到实际问题的答案.专题直角三角形的性质1链接中考>>直角三角形的性质在中考中常与四边形一起考查，有一定的综合性，常需作出辅助线解题.例 1[中考·北京]如图23－1，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F. 若AB＝1，∠EBC＝30°，则 △ ABF的面积为_______. 解题秘方：过点F作BC边的垂线，将△ABF的面积转化为直角三角形的面积，再利用直角三角形的性质计算直角边长即可得解.  专题锐角三角函数2链接中考>>锐角三角函数的有关计算主要就是求锐角的三角函数值，解决这类问题的关键是看清锐角所在的图形以及该图形的性质.这类题目一般属于中档题，多以填空题或选择题形式考查.[中考·内江]如图23－2，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝______.例 2解题秘方：根据折叠的性质和勾股定理求出CF和CE的长，再由正切的定义求解.   专题特殊角的三角函数值3链接中考>>一般情况下，求含有三角函数的代数式的值，要先将各角的三角函数值代入，再根据运算法则和运算律进行计算，注意最后结果要化简，这类题目常与零次幂、负整数指数幂、乘方、开方等综合考查.例 3 解题秘方：按照运算法则和运算顺序进行运算即可. 专题解直角三角形4链接中考>>解直角三角形主要就是在直角三角形中根据已知的边角条件求未知的边和角.解决这类问题，关键是要结合图形的特征，灵活运用锐角三角函数的定义.一般都是以解答题形式考查.[中考·北京]如图23－3，在△ABC中，D，E分别为 AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．例 4(1)求证：四边形DFCG是矩形；证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥CF，即DG∥CF.∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形.又∵DF⊥BC，∴平行四边形DFCG是矩形.(2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC 的长.解题秘方：解第(2)问的关键是过点A作BC边的垂线，即“化斜为直”，解直角三角形.  专题解直角三角形的实际应用5链接中考>>利用解直角三角形解决实际问题是中考的热点，常考查测量高度问题，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为解直角三角形的问题，利用直角三角形的知识解决问题.一般都是以解答题的形式考查.例 5[中考·遂宁]如图23－4，在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6 m的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30 m至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°，求摩天轮的高度．(精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈ 0.75，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)解题秘方：延长DE交CF于点H，易得DH⊥CF，构造两个直角三角形，解直角三角形建立等量关系，解方程即可得解.解：如图23－4，延长DE交CF于点H，则易得DH⊥CF，∵∠DHF＝∠DAF＝∠AFC＝90°，∴四边形DAFH是矩形.同理可得四边形DEBA是矩形，∴ED＝AB＝30，HF＝AD＝1.6.∴DH＝ED＋EH＝30＋EH.设CH＝r. 专题转化思想6专题解读>>稍复杂的几何问题中求线段的长往往不能直接求解，这时就需要进行等线段的转化，因此合理作出辅助线就成为解题的关键.[中考·淄博]如图23－5，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q.若∠FQP＝45°，则EF的长为______．例 6解题秘方：过点A作EF的平行线，得到AG＝EF， 构造直角三角形，利用勾股定理求解. 解：如图23－5，过点A作AG∥EF交BC于点G，过点A作AK⊥AP交CB的延长线于点K， 过点G作GH⊥AK于点H，则∠KAP＝∠KHG＝90°，∠GAP＝∠PQF＝45°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABG＝∠BAD＝∠ADP＝90°， CD＝AB＝4，AD＝BC＝6.∵AG∥EF，∴四边形AGFE为平行四边形.∴EF＝AG.  专题分类讨论思想7专题解读>>求锐角三角函数值时，如果没有给出几何图形，那么往往需要分类讨论.这种题一般出现在填空题和解答题中，需要认真分析题意，不遗漏地考虑到所有情况.[黄冈中学自主招生] 已知等边三角形ABC，点P是直线BC上一点，且满足BP＝2CP，则tan∠BPA＝__________.例 7解题秘方：点P可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上，画出这两种情况的图形进行求解.     类型 利用定义法求锐角三角函数值1A 类型利用化斜为直法构造直角三角形求线段长度2 3.【活动背景】如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测 量.为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150 m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°，测得B点的俯角为43°．【问题解决】(1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度；(结果保留整数，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈ 0.82，tan 35°≈0.70，sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)  (2)请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案(建筑物的宽度忽略不计)，画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．(可提供的测量工具：皮尺、测角仪)解：(答案不唯一)平面示意图如图.用皮尺测得A，B之间的水平距离为a m，用测角仪在A处测得D点的仰角为α，在B处测得C点的仰角为β．在Rt△ABD中，BD＝AB·tan α＝a tan α m，在Rt△ABC中，AC＝AB·tan β＝a tan β m.4. [中考·重庆]如图，人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方 向，且在A的正东方向，AC＝3 600 m.(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位)；   5. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，其示意图如图①，货物M与点O的连线MO恰好平行于地 面，BM＝3 m，∠BOM＝18.17°.(1)求直吊臂OB的长； (2)如图②，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB 绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ (参考数据：sin 18.17°≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17° ≈0.33，sin 36°≈ 0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，结果精确到1 m)解：记旋转后的点B,M的对应点为B′,M′，延长B′M′交水平线于点F. 由题意得B′M′＝BM＝3，OB′＝OB≈10，易知∠B′FO＝90°.在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cos ∠OB′M′≈10×cos 36°≈10× 0.81＝8.1，∴M′F＝B′F－B′M′≈8.1－3＝5.1≈5(m).答：货物M上升了约5 m．6. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan 15°时，可构造如图所示的图形.类型利用构造法求非特殊角的三角函数值4 任务：(1)请根据上面的步骤，继续完成tan 15°的计算； (2)类比这种方法，画出图形，计算tan 22.5°的值 . 7. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”.在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝5，求对角线AC的长.类型利用割补法解直角三角形求线段长5解：分两种情况讨论：①如图①，当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD,BC相交于点E.∵∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，∴∠E＝90°－∠DAB＝90°－60°＝30°，∴AE＝2AB＝14，∴DE＝AE－AD＝14－5＝9.∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°,∴CE＝2CD,   满分题溯源第23章 解直角三角形方法技巧 构造直角三角形解决实际问题方法构造单一直角三角形1例 1[中考·上海]如图1，某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪(线段AB)的竖直高度2.7 m，某人(线段CD)身高为1.8 m，扫描仪测得∠A＝53°，那么该人与扫描仪的水平距离为______m. (备用数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈ 1.33，精确到0.1 m)1.2 方法构造有公共边的双直角三角形2[中考·徐州]下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头.某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙(如图2)，记作△ABC.例 2同学们测得BC＝22.2 m，∠ B＝34.2°，∠ C＝9.8°. 求AC 的长度(精确到0.1 m).(参考数据：sin 34.2°≈ 0.56，cos 34.2° ≈0.83，tan 34.2°≈0.68，sin 9.8°≈ 0.17，cos 9.8°≈0.99， tan 9.8°≈0.17)思路导引：  例 3[中考·达州]为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾.如图3，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在 A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前 方向划行30 m到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度.(结果不取近似值)思路导引： 方法构造无公共边的双直角三角形3图4①是一种淋浴喷头，图4②是其示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25 cm，AB与墙壁DD'的夹角∠D'AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°.例 4现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且DE＝50 cm，CE＝130 cm. 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈ 0.75, sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08， sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)思路导引：  例 5如图5，海岛B在海岛A的北偏东30°方向上，且与海岛A相距20 n mile，一艘渔船从海岛B出发，以 5 n mile/h的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2 h后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.(1)求∠ABE的度数；解：如图5，过点B作BD⊥AC于点D，BF⊥CE于点F.由题意得∠NAB＝30°，∠ GBE＝75°. ∵AN∥BD，∴ ∠ ABD＝∠NAB＝30°. ∵∠DBE＝180 °–∠GBE＝180 °－75 °＝ 105°，∴∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝30°＋105°＝135°. 解：由题意得BE＝5×2＝10.在Rt△BEF中，∠ EBF＝90°－75°＝15°，∴EF＝BE×sin 15°≈10×0.26＝2.6，BF＝BE×cos 15°≈10×0.97＝9.7.在Rt△ABD中，AB＝20，∠ ABD＝30°，