2026年重庆市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案

这是一份2026年重庆市初中学业水平模拟测试数学试卷含答案，共5页。试卷主要包含了估计÷3的值应在等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）−111的倒数是（ ）
A．111B．11C．﹣11D．1011
2．（4分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
4．（4分）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠2＝16°，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．44°
5．（4分）如图，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，若OC1=12CC1，S△ABC＝18，则S△A1B1C1=（ ）
A．2B．4.5C．6D．9
6．（4分）估计(6+23)÷3的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
7．（4分）一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有3个星星，第②个图形有8个星星，第③个图形有13个星星，…．按此规律排列下去，则第⑧个图形的星星的个数是（ ）
A．30B．36C．38D．40
8．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，以点B为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D．若AC＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3−3B．23−2π3C．23−π3D．3−π3
9．（4分）在正方形ABCD中，E、G分别为边BC、AD上两点，连接AE、GE，∠AEG＝45°，延长EG交CD的延长线于点F，若3DF＝DC，则GFCE的值为（ ）
A．56B．55C．54D．53
10．（4分）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2026时对应的手指是（ ）（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指，食指，中指，无名指，小指）
A．食指B．中指C．无名指D．小指
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）规定运算“★”是a★b=ab−3，则1★3= ．
12．（4分）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除颜色外都相同．随机从中摸1个球，恰好摸到绿球的概率是47，则袋子中至少有 个绿球．
13．（4分）某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是 ．
14．（4分）若实数k使关于x的不等式组2x+1≥7−x2x−1＜k−22有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程10y−2+ky−62−y=2有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 ．
15．（4分）以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，弦DE⊥AB于点H，连接CD并延长交AB于点F、交⊙O于点G，连接OD．若∠DOH＝2∠C，OD＝3，AH＝1．则DE＝ ，AF＝ ．
16．（4分）对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为A＝10a+d，十位数字与百位数字组成的两位数为B＝10c+b，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数” （填“是”“否”）；若M为“开数”，记G（M）=b+13c−a−d，当G（M）能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分86分）
17．（18分）计算：
（1）（π﹣3）0+|1﹣tan60°|−20÷5+(12)−2；
（2）先化简，再求值：(3x−1−x−1)÷x2−4x+4x−1，其中x满足不等式组2x−6＜01−x3＜53，且x为非负整数．
18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC．
（1）用尺规作∠DCA的平分线交BD于点F．连结AF、CE（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴① ，
∴∠BAC＝∠DCA．
∵AE平分∠BAC，CF平分∠DCA，
∴∠EAO=12∠BAC，
∠FCO＝② ，
∴∠EAO＝∠FCO．
又∵点O是矩形ABCD对角线AC、BD的交点，
∴③ ．
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
19．（10分）2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），部分信息如下：
七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92．
七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由；
（3）已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（x≥90）的学生总人数．
20．（10分）某市计划采购A，B两种花卉对某广场进行美化．
（1）该市第一批花费2000元采购A，B两种花卉共1500盆，此时A，B两种花卉的价格分别为1元/盆，2元/盆，求采购A，B两种花卉各多少盆？
（2）由于花卉价格有所调整，该市第二批分别花费450元，900元购买A，B两种花卉，已知购买的B种花卉每盆比A种花卉多1元，且B种花卉比A种花卉的盆数多20%，求购买A种花卉多少盆？
21．（10分）综合与实践
活动课上，老师让同学们利用两条相交线与三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图1，直线AB与直线CD相交于O，∠AOC＝30°，将一个含30°，60°角的直角三角板如图所示摆放，使30°角的顶点和O点重合，30°角的两边分别与直线AB、直线CD重合．
【问题探究】
（1）将图1中的三角板绕着点O顺时针旋转90°，如图2所示，此时与∠COE互补的角有 ；
（2）将图2中的三角板绕点O顺时针继续旋转到图3的位置所示，使得OF在∠BOD的内部，猜想∠BOE与∠DOF之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的直角三角板绕点O按每秒10°的速度顺时针旋转一周，在旋转的过程中，第x秒时，EF所在的直线恰好平行于OC，求x值．
22．（10分）某校进行应急演练，事发地点C处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于B点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于B点处的救护人员立即出发，A处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点C处．计划由B处的救护人员赶到事发地点C处一边应急处理一边护送该伤员沿CA方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知C在A的北偏东30°方向500米上，B在A的东北方向上，且在C的正南方向上．
（1）求BC两点的距离（结果精确到1米，参考数据：3≈1.732）；
（2）黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间、接送伤员上下车的时间均忽略不计）
23．（10分）如图（1），抛物线y=−12x2+x+4交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）D是抛物线第二象限上的一点，连接BD交y轴于点F，且满足BF＝4DF，E是抛物线第一象限上的一点，连接AE交y轴于点G，交BD于点H，若∠GFH＝∠GHF，求点E的横坐标；
（3）平移抛物线使它的顶点为原点，如图（2）．过点T（p，q）的直线与抛物线交于M，N两点，S是抛物线上一动点，当p，q在变化的过程中，总有∠MSN＝90°，求p与q之间的数量关系式．
24．（10分）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，2，3，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以以AP为一边在AP右侧作等边三角形APP′，连接CP′，此时可证△ACP′≌△ABP，这样就可以将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．
已知，如图②，点P为等边△ABC外一点，∠APC＝30°，BP=13，AP＝3，求PC长．
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠BAC＝30°，点D是AC上一点，线段BD绕点D顺时针旋转60°，点B的对应点为点E，当△ABE为直角三角形时，求△ABE面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）−111的倒数是（ ）
A．111B．11C．﹣11D．1011
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据倒数的定义解答即可．
【解答】解：（−111）×（﹣11）＝1，
故选：C．
【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解题的关键．
2．（4分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转180°与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．
【解答】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；
A．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．原图是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】反比例函数y=−6x的k＝﹣6＜0，图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．点A和B的x坐标均为负，故位于第二象限，根据增减性即可比较y1和y2的大小．
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，反比例函数 y=−6x，
∴函数图象在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵点A（﹣3，y1） 和B（﹣1，y2） 的横坐标x都小于0，
∴两点均在第二象限．
又∵﹣3＜﹣1，且在第二象限内y随x增大而增大，
∴在平面直角坐标系中，点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）在反比例函数y=−6x的图象上，则y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（4分）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠2＝16°，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．44°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】由多边形的外角和可求得∠BCD＝60°，∠ABC＝∠BCF＝120°，再由平行线的性质及邻补角定义可得∠BDC＝∠1，∠BCD＝60°，由三角形的外角性质可求得∠BDC的度数，即可求∠1的度数．
【解答】解：如图，
∵太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，
∴∠BCD＝360°÷6＝60°，EF∥BD，∠ABC＝∠BCF＝120°，
∴∠BDC＝∠1，∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∵∠2＝16°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠2＝104°，
∵∠3＝∠BDC+∠BCD，
∴∠BDC＝44°，
∴∠1＝44°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5．（4分）如图，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，若OC1=12CC1，S△ABC＝18，则S△A1B1C1=（ ）
A．2B．4.5C．6D．9
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，A1C1∥AC，证明△A1OC1∽△AOC，根据相似三角形的性质求出A1C1AC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵OC1=12CC1，
∴OC1OC=13，
∵△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A1B1C1，A1C1∥AC，
∴△A1OC1∽△AOC，
∴A1C1AC=OC1OC=13，
∴S△A1B1C1S△ABC=19，
∵S△ABC＝18，
∴S△A1B1C1=2，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．（4分）估计(6+23)÷3的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．
【专题】实数；二次根式；数感；运算能力．
【答案】B
【分析】将原式化简为2+2，再根据算术平方根的定义估算无理数2+2的大小即可．
【解答】解：原式=6÷3+23÷3
=2+2，
∵1＜2＜2，
∴3＜2+2＜4，
即(6+23)÷3的值在3和4之间，
故选：B．
【点评】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，正确的计算原式的结果是得出正确答案的前提，估算无理数2+2的大小是正确解答的关键．
7．（4分）一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有3个星星，第②个图形有8个星星，第③个图形有13个星星，…．按此规律排列下去，则第⑧个图形的星星的个数是（ ）
A．30B．36C．38D．40
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】C
【分析】根据所给图形，依次求出图形中星星的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图形中星星的个数为：3＝1×5﹣2；
第②个图形中星星的个数为：8＝2×5﹣2；
第③个图形中星星的个数为：13＝3×5﹣2；
…，
所以第n个图形中星星的个数为（5n﹣2）个，
当n＝8时，
5n﹣2＝5×8﹣2＝38（个），
即第⑧个图形中星星的个数为38个．
故选：C．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现星星的个数依次增加5是解题的关键．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，以点B为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D．若AC＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3−3B．23−2π3C．23−π3D．3−π3
【考点】扇形面积的计算；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】易证△ABD是等边三角形，即可得到∠DBE＝∠C＝30°，从而求得AB=12AC=2，根据三角形面积公式和扇形面积公式即可求解．
【解答】解：连接BD，
∵AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A＝∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE＝∠C＝30°，
∵AC＝4，
∴AB=12AC=2，
∴阴影部分的面积为：S扇形BDE﹣（S扇形ABD﹣S△ABD）=30π×22360−（60π×22360−12×2×2×32）=3−π3，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形面积公式和扇形面积公式，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记公式是解题关键．
9．（4分）在正方形ABCD中，E、G分别为边BC、AD上两点，连接AE、GE，∠AEG＝45°，延长EG交CD的延长线于点F，若3DF＝DC，则GFCE的值为（ ）
A．56B．55C．54D．53
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】过点A作AH⊥EF于点H，AH的延长线交CD于点M，过点A作AN⊥AM交CB的延长线于点N，设DF＝a，DG＝b，则a＞0，b＞0，则DC＝3a，FC＝4a，证明△ABN和△ADM全等得BN＝DM，AN＝AM，再证明∠NAE＝∠MAE＝45°，进而可判定△NAE和△MAE全等，则EN＝EM＝BE+DM，证明△ADM和△FDG相似得DM＝3b，则CM＝3a﹣3b，再证明△FDG和△FCE相似得CE＝4b，则BE＝3a﹣4b，进而得EM＝BE+DM＝3a﹣b，在Rt△ECM中，由勾股定理可求出b=a2，则CE＝4b＝2a，DG=b=a2，继而由勾股定理得GF=5a2，由此即可得出GFCE的值．
【解答】解：过点A作AH⊥EF于点H，AH的延长线交CD于点M，过点A作AN⊥AM交CB的延长线于点N，连接EM，如图所示：

∵∠NAM＝∠AHE＝∠AHG＝90°
设DF＝a，DG＝b，则a＞0，b＞0，
∵3DF＝DC，
∴DC＝3a，
∴FC＝DF+DC＝4a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝DC＝3a，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴∠NAM＝∠BAD＝90°，∠ABN＝∠ADM＝90°，
∴∠BAN+∠BAM＝∠BAM+∠DAM，
∴∠BAN＝∠DAM，
在△ABN和△ADM中，
∠ABN=∠ADM=90°AB=AD∠BAN=∠DAM，
∴△ABN≌△ADM（ASA），
∴BN＝DM，AN＝AM，
∴EN＝BE+BN＝BE+DM，
∵∠AHE＝90°，∠AEG＝45°，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴∠MAE＝45°，
∴∠NAE＝∠NAM﹣∠MAE＝45°，
∴∠NAE＝∠MAE＝45°，
在△NAE和△MAE中，
AN=AM∠NAE=∠MAEAE=AE，
∴△NAE≌△MAE（SAS），
∴EN＝EM＝BE+DM，
∵∠AHG＝∠FGD＝90°，
∴∠DAM+∠AGH＝90°，∠F+∠FGD＝90°，
又∵∠AGH＝∠FGD，
∴∠DAM＝∠F，
∴△ADM∽△FDG，
∴ADDF=DMDG，
∴DM=AD⋅DGDF=3aba=3b，
∴CM＝CD﹣DM＝3a﹣3b，
∵AD∥BC，
∴△FDG∽△FCE，
∴FDFC=DGCE，
∴CE=FC⋅DGFD=4aba=4b，
∴BE＝BC﹣CE＝3a﹣4b，
∴EM＝BE+DM＝3a﹣4b+3b＝3a﹣b，
在Rt△ECM中，由勾股定理得：EM2＝CM2+CE2，
∴（3a﹣b）2＝（3a﹣3b）2+（4b）2，
整理得：24b2＝12ab，
∵a＞0，b＞0，
∴b=a2，
∴CE＝4b＝2a，DG=b=a2，
在Rt△FDG中，由勾股定理得：GF=FD2+DG2=a2+(a2)2=5a2，
∴GFCE=5a22a=54．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解 正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解决问题的难点．
10．（4分）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2026时对应的手指是（ ）（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指，食指，中指，无名指，小指）
A．食指B．中指C．无名指D．小指
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】找出数数时手指对应的规律，通过计算余数确定对应的手指．
【解答】解：数字1对应大拇指，数字2对应食指，3对应中指，4对应无名指，5对应小指，6对应无名指，7对应中指，8对应食指，9对应大拇指，10对应食指……
可以发现，从数字1开始，每8个数为一个循环（大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指）．
∵2026÷8＝253…2，
∴个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2026时对应的手指对应循环中的第二个位置，即食指．
故选：A．
【点评】本题考查了数字规律的探索，关键是找出数数时手指对应的规律．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）规定运算“★”是a★b=ab−3，则1★3= −233 ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】−233．
【分析】根据新运算的定义，将 a 和 b 的值代入公式计算，即可作答．
【解答】解：根据新运算的定义，将 a 和 b 的值代入公式计算可得：
当a＝1，b=3时，
1★3=13−3=33−3=33−333=−233．
故答案为：−233．
【点评】本题考查了实数的新定义，分母有理化，二次根式的减法运算．熟练掌握以上知识点是关键．
12．（4分）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除颜色外都相同．随机从中摸1个球，恰好摸到绿球的概率是47，则袋子中至少有 4 个绿球．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】4．
【分析】直接由概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是47，
∴袋子中至少有4个绿球．
故答案为：4．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
13．（4分）某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】10%．
【分析】设每月增长的百分率是x，根据企业3月份的利润＝企业1月份的利润×（1+每月增长的百分率）2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每月增长的百分率是x，
由题意得：100（1+x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
即每月增长的百分率是10%，
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（4分）若实数k使关于x的不等式组2x+1≥7−x2x−1＜k−22有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程10y−2+ky−62−y=2有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 3 ．
【考点】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】先根据解一元一次不等式组的方法求出不等式组的解集为1≤x＜k2，再根据不等式组2x+1≥7−x2x−1＜k−22有解且至多有三个整数解，可得出1＜k2≤4，即2＜k≤8，由此得出k的值．再根据解分式方程的方法求出y=202+k，由关于y的分式方程10y−2+ky−62−y=2有整数解，且y≠2，由此得出k≠8，把k＝3或4或5或6或7代入y=202+k判断，进而得出答案．
【解答】解：2x+1≥7−x2①x−1＜k−22②，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜k2，
∴不等式组解集为1≤x＜k2，
∵不等式组2x+1≥7−x2x−1＜k−22有解且至多有三个整数解，
∴1＜k2≤4，即2＜k≤8，
∴k＝3或4或5或6或7或8．
由分式方程10y−2+ky−62−y=2，
去分母，得10﹣ky+6＝2（y﹣2），
去括号，得10﹣ky+6＝2y﹣4
移项，得2y+ky＝10+6+4，
合并同类项，得（2+k）y＝20，
∴y=202+k，
∵关于y的分式方程10y−2+ky−62−y=2有整数解，且y≠2，
∴k≠8，
∴k＝3或4或5或6或7，
当k＝3时，y=202+3=205=4，符合题意；
当k＝4时，y=202+4=206=103，不符合题意；
当k＝5时，y=202+5=207，不符合题意；
当k＝6时，y=202+6=208=52，不符合题意，
当k＝7时，y=202+7=209，不符合题意，
∴满足条件的整数k只有3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，熟练掌握接分式方程的方法，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
15．（4分）以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，弦DE⊥AB于点H，连接CD并延长交AB于点F、交⊙O于点G，连接OD．若∠DOH＝2∠C，OD＝3，AH＝1．则DE＝ 25 ，AF＝ 2 ．
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】25，2．
【分析】由勾股定理得，DH=OD2−OH2=5，由垂径定理可得DE=25；由切线的性质可得BA⊥CA，则DE∥CA，∠GDE＝∠C；连接AE，由圆周角定理可得∠DEA=12∠DOA=∠C=∠GDE，可证明△AHE≌△FHD（ASA），则AH＝FH＝1，即AF＝2．
【解答】解：∵AB为直径，DE⊥AB，
∴DH=EH=12DE，
由题意知OA＝OD＝3，
∴OH＝OA﹣AH＝2，
由勾股定理得，DH=OD2−OH2=5，
∴DE=25；
∵⊙O与AC相切于点A，
∴BA⊥CA，
∴DE∥CA，
∴∠GDE＝∠C，
如图，连接AE，
由条件可知∠DEA=12∠DOA=∠C=∠GDE，
又∵EH＝DH，∠AHE＝∠FHD，
∴△AHE≌△FHD（ASA），
∴AH＝FH＝1，
∴AF＝2，
故答案为：25，2．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．
16．（4分）对于一个四位自然数M，设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为A＝10a+d，十位数字与百位数字组成的两位数为B＝10c+b，若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”．判断：1029是否为“开数” 是 （填“是”“否”）；若M为“开数”，记G（M）=b+13c−a−d，当G（M）能被7整除时，则满足条件的M的最大值为 8892 ．
【考点】因式分解的应用；列代数式．
【专题】探究型；转化思想；运算能力；推理能力．
【答案】是，8892．
【分析】读懂题目中的定义，进行代数运算，利用相反数的相关性质，并且运用题设条件进行换算因式分解，并将G（M）整理出最简因式，判断数字整除．
【解答】解：①当M＝1029时，
根据题意得，A＝10×1+9＝19，B＝10×2+0＝20，
A﹣B＝19﹣20＝﹣1，千位数字与百位数字和：1+0＝1，
∵﹣1与1互为相反数，A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”，
∴1029是“开数”．
②∵M为“开数”，且A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，
∴A﹣B＝10a+d﹣（10c+d）＝﹣（a+b），
∴d＝10c﹣11a，
又∵G（M）=b+13c−a−d，d＝10c﹣11a，
∴G（M）=b+1310a−9c，
又∵当G（M）能被7整除，
∴若M最大，则a，b，c都应达到最大
∴依次代入数据可得，a＝8，b＝8，c＝9，
∴d＝10c﹣11a＝10×9﹣11×8＝2，
∴M的最大值为8892．
故答案为：是，8892．
【点评】本题考查了对创新型新概念的理解，理解定义以及题中所蕴含的相关性质与特点并进行代数式的表达是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分86分）
17．（18分）计算：
（1）（π﹣3）0+|1﹣tan60°|−20÷5+(12)−2；
（2）先化简，再求值：(3x−1−x−1)÷x2−4x+4x−1，其中x满足不等式组2x−6＜01−x3＜53，且x为非负整数．
【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；分式；运算能力．
【答案】（1）2+3；
（2）2+x2−x，1．
【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据x满足不等式组2x−6＜01−x3＜53，且x为非负整数，可以得到x的值，最后代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1）（π﹣3）0+|1﹣tan60°|−20÷5+(12)−2
＝1+|1−3|−4+4
＝1+3−1﹣2+4
＝2+3；
（2）(3x−1−x−1)÷x2−4x+4x−1
=3−(x+1)(x−1)x−1•x−1(x−2)2
=3−x2+1x−1•x−1(x−2)2
=(2+x)(2−x)x−1•x−1(x−2)2
=2+x2−x，
由2x−6＜01−x3＜53可得：﹣2＜x＜3，
又∵x为非负整数，x﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴x＝0，
当x＝0时，原式=2+02−0=1．
【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC．
（1）用尺规作∠DCA的平分线交BD于点F．连结AF、CE（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴①AB∥DC ，
∴∠BAC＝∠DCA．
∵AE平分∠BAC，CF平分∠DCA，
∴∠EAO=12∠BAC，
∠FCO＝② 12∠DCO ，
∴∠EAO＝∠FCO．
又∵点O是矩形ABCD对角线AC、BD的交点，
∴③AO＝CO ．
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的判定；矩形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）图见解析；
（2）AB∥DC；12∠DCO；AO＝CO．
【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质和判定方法推理即可．
【解答】（1）解：∠DCA的平分线交BD于点F．连结AF、CE，如图1即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA．
∵AE平分∠BAC，CF平分∠DCA，
∴∠EAO=12∠BAC，∠FCO=12∠DCO，
∴∠EAO＝∠FCO．
又∵点O是矩形ABCD对角线AC、BD的交点，
∴AO＝CO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：AB∥DC；12∠DCO；AO＝CO．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，熟悉掌握作图方法和平行四边形判定方法是解题的关键．
19．（10分）2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），部分信息如下：
七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92．
七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ 93 ，n＝ 95 ；
（2）学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由；
（3）已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（x≥90）的学生总人数．
【考点】方差；用样本估计总体；中位数；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）93，95；
（2）应选择八年级，理由如下：
因为七、八年级抽取的学生成绩的平均数均是91.6，
而八年级抽取的学生成绩的方差为40.8，小于七年级抽取的学生成绩的方差45.2，
所以八年级学生的成绩比七年级学生的成绩更稳定，
所以学校会从八年级中选择；
（3）约250人．
【分析】（1）根据中位数以及众数的定义，可求出m，n即可；
（2）从平均数和方差的角度分析即可求解；
（3）用800乘以测试成绩为优秀（x≥90）的学生所占的百分比，即可求解．
【解答】解：（1）∵七年级10名学生的成绩正中间的两个数为92，96，
∴中位数m=91+952=93，
∵95出现的次数最多，
∴n＝95；
故答案为：93，95．
（2）应选择八年级，理由如下：
因为七、八年级抽取的学生成绩的平均数均是91.6，
而八年级抽取的学生成绩的方差为40.8，小于七年级抽取的学生成绩的方差45.2，
所以八年级学生的成绩比七年级学生的成绩更稳定，
所以学校会从八年级中选择；
（3）500×6+10×(1−10%−20%−310)10+10=250（人），
答：估计本次测试中成绩为优秀（x≥90）的学生总人数约250人．
【点评】本题主要考查了扇形统计图，中位数，众数，平均数，方差，样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20．（10分）某市计划采购A，B两种花卉对某广场进行美化．
（1）该市第一批花费2000元采购A，B两种花卉共1500盆，此时A，B两种花卉的价格分别为1元/盆，2元/盆，求采购A，B两种花卉各多少盆？
（2）由于花卉价格有所调整，该市第二批分别花费450元，900元购买A，B两种花卉，已知购买的B种花卉每盆比A种花卉多1元，且B种花卉比A种花卉的盆数多20%，求购买A种花卉多少盆？
【考点】二元二次方程组；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）采购A种花卉1000盆，B种花卉500盆；
（2）购买A种花卉300盆．
【分析】（1）设采购A种花卉x盆，B种花卉y盆，根据该市第一批花费2000元采购A，B两种花卉共1500盆，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种花卉m盆，A种花卉每盆n元，根据该市第二批分别花费450元，900元购买A，B两种花卉，列出二元二次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设采购A种花卉x盆，B种花卉y盆，
由题意得：x+y=1500x+2y=2000，
解得：x=1000y=500，
答：采购A种花卉1000盆，B种花卉500盆；
（2）设购买A种花卉m盆，A种花卉每盆n元，
由题意得：mn=450(n+1)(1+20%)m=900，
解得：m=300n=1.5，
答：购买A种花卉300盆．
【点评】本题考查了二元二次方程组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．
21．（10分）综合与实践
活动课上，老师让同学们利用两条相交线与三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图1，直线AB与直线CD相交于O，∠AOC＝30°，将一个含30°，60°角的直角三角板如图所示摆放，使30°角的顶点和O点重合，30°角的两边分别与直线AB、直线CD重合．
【问题探究】
（1）将图1中的三角板绕着点O顺时针旋转90°，如图2所示，此时与∠COE互补的角有 ∠EOD、∠AOF ；
（2）将图2中的三角板绕点O顺时针继续旋转到图3的位置所示，使得OF在∠BOD的内部，猜想∠BOE与∠DOF之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的直角三角板绕点O按每秒10°的速度顺时针旋转一周，在旋转的过程中，第x秒时，EF所在的直线恰好平行于OC，求x值．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）∠EOD、∠AOF；
（2）∠BOE＝∠DOF，理由见解答；
（3）x＝12或x＝30．
【分析】（1）由旋转得∠AOE＝∠COF＝90°，∠EOF＝∠AOC＝30°，可推导出∠COE＝∠FOB＝90°﹣∠EOF，则∠COE+∠EOD＝180°，∠COE+∠AOF＝∠FOB+∠AOF＝180°，所以与∠COE互补的角有∠EOD、∠AOF，于是得到问题的答案；
（2）先根据“对顶角相等”证明∠BOD＝∠AOC＝30°，则∠BOE＝∠DOF＝30°﹣∠BOF；
（3）分两种情况求x的值，一是EF∥OC，且线段OE与射线OC在直线AB的同侧，则∠COE＝∠E＝90°，所以∠AOE＝∠COE+∠AOC＝120°，于是得10x＝120；二是EF∥OC，且线段OE与射线OC在直线AB的异侧，则∠COE＝180°﹣∠E＝90°，所以∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝60°，于是得10x＝360﹣60，解方程求出相应的x值即可．
【解答】解：（1）∵∠AOE＝∠COF＝90°，∠EOF＝∠AOC＝30°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝90°，
∴∠COE＝∠FOB＝90°﹣∠EOF，
∴∠COE+∠EOD＝180°，∠COE+∠AOF＝∠FOB+∠AOF＝180°，
故答案为：∠EOD、∠AOF．
（2）∠BOE＝∠DOF，
理由：∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∵∠EOF＝30°，
∴∠BOE＝∠EOF﹣∠BOF＝30°﹣∠BOF，∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝30°﹣∠BOF，
∴∠BOE＝∠DOF．
（3）如图2（1），EF∥OC，且线段OE与射线OC在直线AB的同侧，
∵∠COE＝∠E＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝120°，
∴10x＝120，
解得x＝12；
如图2（2），EF∥OC，且线段OE与射线OC在直线AB的异侧，
∵∠COE＝180°﹣∠E＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝60°，
∴10x＝360﹣60，
解得x＝30，
综上所述，x＝12或x＝30．
【点评】此题是三角形的综合题，重点考查相交线与平行线、对顶角相等、“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”、旋转的性质、一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
22．（10分）某校进行应急演练，事发地点C处发生了一起事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，接到报告后，位于B点处的演练应急处理队员立即报告120（专为演练准备的），并组织位于B点处的救护人员立即出发，A处的120救护车接到通知后也立刻同时出发前往事发地点C处．计划由B处的救护人员赶到事发地点C处一边应急处理一边护送该伤员沿CA方向行进，与救护车相遇后将该伤员转移到救护车上接受救治．已知C在A的北偏东30°方向500米上，B在A的东北方向上，且在C的正南方向上．
（1）求BC两点的距离（结果精确到1米，参考数据：3≈1.732）；
（2）黄金救援时间是6分钟（本次演练设定为3分钟），救护人员的平均速度为90米/分，救护车的平均速度为230米/分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治？请说明理由．（事发与接到通知之间的时间、接送伤员上下车的时间均忽略不计）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）BC两点的距离约为183米；
（2）该伤员能在黄金救援时间内接受救治．
理由见解答．
【分析】（1）延长CB交过点A的正东方向线于点D，在Rt△ACD中，求出AD，CD，在Rt△ABD中，求出BD，再理由BC＝CD﹣BD即可解决问题；
（2）设从接到通知后到警车与救护车相遇共用时x分钟，利用救护人员和救护车行驶的路程和等于AC+BC，求出时间，再与3分钟比较，即可作出判断．
【解答】解：（1）延长CB交过点A的正东方向线于点D，
由题意，可知∠D＝90°，∠C＝30°，∠BAD＝45°，AC＝500米，
在Rt△ACD中，
∵∠D＝30°，
∴AD=12AC＝250米，
CD＝AC•csC＝500×32=2503（米），
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝250米，
∴BC＝CD﹣BD＝2503−250≈183（米），
答：BC两点的距离约为183米；
（2）该伤员能在黄金救援时间内接受救治．
理由：设从接到通知后到警车与救护车相遇共用时x分钟，
由题意可列方程 （90+230）x＝500+183，
解得 x≈2.13＜3，
所以该伤员能在黄金救援时间内接受救治．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，理解题意，构造直角三角形并利用三角函数求解使解答本题得关键．
23．（10分）如图（1），抛物线y=−12x2+x+4交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）D是抛物线第二象限上的一点，连接BD交y轴于点F，且满足BF＝4DF，E是抛物线第一象限上的一点，连接AE交y轴于点G，交BD于点H，若∠GFH＝∠GHF，求点E的横坐标；
（3）平移抛物线使它的顶点为原点，如图（2）．过点T（p，q）的直线与抛物线交于M，N两点，S是抛物线上一动点，当p，q在变化的过程中，总有∠MSN＝90°，求p与q之间的数量关系式．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数图象及其性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）点E的横坐标为52；
（3）p2+2q+4＝0．
【分析】（1）根据坐标轴上点的特征即可求得A、B、C的坐标；
（2）过点D作DK⊥y轴于K，可证得△DFK∽△BFO，可求得F（0，2），过点A作AL⊥BD于L，过点H作HT⊥x轴于点T，设AL＝m，BL＝2m，利用勾股定理求得m的值，可求得AL、BL，再利用三角函数定义求得LH、BH，设HT＝n，BT＝2n，利用勾股定理求得n的值，得出点H的坐标，运用待定系数法可得直线AH的解析式，联立方程求解即可求得点E的横坐标；
（3）先求得平移后的抛物线解析式和直线MN的解析式为y＝kx+q﹣kp，联立方程并运用根与系数关系得出：xM+xN＝﹣2k，xMxN＝2q﹣2kp，过点S作直线KL∥x轴，过点M作MK⊥KL于K，过点N作NL⊥KL于L，证得△MSK∽△SNL，再运用根的判别式即可求得答案．
【解答】解：（1）令y＝0，得−12x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4）；
（2）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，则∠DKF＝∠BOF＝90°，
∵∠DFK＝∠BFO，
∴△DFK∽△BFO，
∴FKOF=DKOB=DFBF，
∵BF＝4DF，OB＝4，
∴FKOF=DKOB=14，
∴OF＝4FK，DK＝1，
∴点D的横坐标为﹣1，
当x＝﹣1时，y=−12×（﹣1）2﹣1+4=52，
∴D（﹣1，52），
∵OF+FK=52，
∴FK=12，OF＝2，
∴F（0，2），
过点A作AL⊥BD于L，过点H作HT⊥x轴于点T，
则tan∠ABD=ALBL=OFOB=24=12，
设AL＝m，BL＝2m，
在Rt△ABL中，AL2+BL2＝AB2，
∴（m）2+（2m）2＝62，
解得：m=655（负值舍去），
∴AL=655，BL=1255，
∵∠GFH＝∠GHF，
∴tan∠GFH＝tan∠GHF，
∴OBOF=ALLH，即42=655LH，
解得：LH=355，
∴BH＝BL﹣LH=1255−355=955，
∵HTBT=tan∠ABD=12，
∴设HT＝n，BT＝2n，
∵HT2+BT2＝BH2，
∴（n）2+（2n）2＝（955）2，
解得：n=95（负值舍去），
∴HT=95，BT＝2×95=185，
∴OT＝OB﹣BT＝4−185=25，
∴H（25，95），
设直线AH的解析式为y＝ex+f，则−2e+f=025e+f=95，
解得：e=34f=32，
∴直线AH的解析式为y=34x+32，
联立得：y=34x+32y=−12x2+x+4，
整理得：x2−12x﹣5＝0，
解得：x＝﹣2（舍去）或x=52，
∴点E的横坐标为52；
（3）平移后抛物线解析式为y=−12x2，直线MN的解析式为y＝kx+b，
∵直线MN经过点T（p，q），
∴q＝kp+b，
∴b＝q﹣kp，
∴直线MN的解析式为y＝kx+q﹣kp，
设S（t，−12t2），M（xM，−12xM2），N（xN，−12xN2），
联立得：−12x2＝kx+q﹣kp，
整理得：x2+2kx+2q﹣2kp＝0，
∴xM+xN＝﹣2k，xMxN＝2q﹣2kp，
过点S作直线KL∥x轴，过点M作MK⊥KL于K，过点N作NL⊥KL于L，如图2，
则∠MKS＝∠SLN＝90°，
∴∠SMK+∠MSK＝90°，
∵∠MSN＝90°，
∴∠MSK+∠NSL＝90°，
∴∠SMK＝∠NSL，
∴△MSK∽△SNL，
∴SKLN=MKSL，
∴SK•SL＝MK•LN，
∵SK＝t﹣xM，SL＝xN﹣t，MK=−12t2+12xM2，LN=−12t2+12xN2，
∴（t﹣xM）（xN﹣t）＝（−12t2+12xM2）（−12t2+12xN2），
整理得：（t+xM）（t+xN）＝﹣4，
∴t2+（xM+xN）t+xMxN+4＝0，
∴t2﹣2kt+2（q﹣kp）+4＝0，
∵当p，q在变化的过程中，总有∠MSN＝90°，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×[2（q﹣kp）+4]＝0，
∴（k+p）2＝p2+2q+4，
∵k为任意实数，（k+p）2＝0，
∴当k+p＝0时，p2+2q+4＝0．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．（10分）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，2，3，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以以AP为一边在AP右侧作等边三角形APP′，连接CP′，此时可证△ACP′≌△ABP，这样就可以将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 150° ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．
已知，如图②，点P为等边△ABC外一点，∠APC＝30°，BP=13，AP＝3，求PC长．
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠BAC＝30°，点D是AC上一点，线段BD绕点D顺时针旋转60°，点B的对应点为点E，当△ABE为直角三角形时，求△ABE面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）150°；
（2）2；
（3）4．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△ACP'，可得BP＝P'C=2，∠APB＝∠AP'C，由勾股定理的逆定理可求∠PP'C＝90°，即可求解；
（2）由旋转的性质可得BP＝AE=13，CP＝CE，∠PCE＝60°，可求∠APE＝90°，由勾股定理可求解；
（3）由△ABE≌△FBD，可得AE＝DF，∠AEB＝∠FDB＝90°，S△AEB＝S△BDF，即可求解．
【解答】解：（1）∵△APP'和△ABC都是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AP'＝PP'＝1，∠BAC＝∠PAP'＝60°，
∴∠BAP＝∠CAP'，
∴△ABP≌△ACP'（SAS），
∴BP＝P'C=2，∠APB＝∠AP'C，
∵P'P2+P'C2＝1+2＝3，PC2＝3，
∴PP'2+P'C2＝PC2，
∴∠PP'C＝90°，
∴∠AP'C＝150°，
∴∠APB＝150°，
故答案为：150°；
（2）如图②，将△BCP绕点C顺时针旋转60度，得到△ACE，连接PE，AE，
∴BP＝AE=13，CP＝CE，∠PCE＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE＝PC，∠CPE＝60°，
∵∠APC＝30°，
∴∠APE＝90°，
∴PE=AE2−AP2=13−9=2，
∴CP＝2；
（3）当点D与点A重合时，∵线段BD绕点D顺时针旋转60°，
∴DB＝BE，∠DBE＝60°，
∴△DBE是等边三角形，
∴∠EDB＝∠EBE＝60°，
∴∠BAE＜60°，∠ABE＜60°，
∵△ABE为直角三角形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
如图③，延长BC至F，使CF＝BC，连接DF，AF，
∵AC⊥BC，CF＝BC，
∴AB＝AF，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB＝BF，
∵△DBE是等边三角形，
∴DB＝BE，∠DBE＝60°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBF，
∴△ABE≌△FBD（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠FDB＝90°，S△AEB＝S△BDF，
又∵BC＝CF＝2，
∴BC＝CF＝DC＝2，
∴S△AEB＝S△BDF=12×2×4＝4．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的性质，旋转的性质，利用旋转的性质添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91.6
m
n
45.2
八年级
91.6
92
98
40.8
统计量
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91.6
m
n
45.2
八年级
91.6
92
98
40.8