2027届高考数学一轮总复习7.3空间直线、平面的平行（课件）

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1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.3.若α∥β,a⊂α,则a∥β.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线,则这条直线平行于这个平面.(　 　)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.(　 　)(3)如果两个平面平行,且一条直线平行于其中一个平面,那么该直线平行于另一个平面.(　 　)(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.(　 　)
2.(人教A版必修第二册P139练习T3改编)已知α,β是两个平面,m,n是两条直线,下列四个命题中正确的是 (　 　)A.若m∥n,n∥α,则m∥αB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若α∥β,m⊂α,则m∥βD.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β
解析:对于A,若m∥n,n∥α,则m∥α或m⊂α,故A错误;对于B,若m∥α,n⊂α,则m∥n或m与n异面,故B错误;对于C,若α∥β,则α与β没有公共点,又因为m⊂α,所以m与β没有公共点,所以m∥β,故C正确;对于D,若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α与β相交,故D错误.故选C.
4.(人教A版必修第二册P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为__________.解析:因为平面ABFE∥平面DCGH,平面EFGH∩平面DCGH=HG,平面EFGH∩平面ABFE=EF,所以EF∥HG,同理可得EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.
考点1 直线与平面平行的判定与性质【例1】　如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,M是线段EF的中点.
(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.【解】l∥m,证明如下:由(1)知,AM∥平面BDE,又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,因此l∥AM,由AM∥平面BDE,AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,得m∥AM.所以l∥m.
1.线面平行的证明方法(1)定义法:一般用反证法.(2)判定定理法:关键是在平面内找(或作)一条与已知直线平行的直线,证明时注意用符号语言叙述证明过程.(3)性质定理法:当两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.注意:应用线面平行的判定定理和性质定理时,一定要注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.
【对点训练1】(人教B版必修第四册P111习题11-3CT3改编)如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点.
(1)求证:BC∥平面PAD;证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.
(2)已知M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:AP∥HG.证明:如图,连接AC,交BD于O,连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.又M是PC的中点,所以MO∥PA.因为MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,所以PA∥平面BDM.又PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=HG,所以AP∥HG.
考点2 平面与平面平行的判定与性质【例2】　如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)求证:平面A1BD∥平面CD1B1;【证明】　由题设知BB1? DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1?B1C1?BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B=B,BD,A1B⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l,求证:B1D1∥l.【证明】由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=l,平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以直线l∥BD.又BD∥B1D1,所以B1D1∥l.
1.判定面面平行的方法(1)利用定义,即证两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,那么这两条直线必须是两平行平面与第三个平面的交线.注意:利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线.
【对点训练2】如图,在六面体ABCDEF中,DE∥CF,四边形ABCD是平行四边形,DE=2CF.(1)求证:平面ADE∥平面BCF;证明:由四边形ABCD是平行四边形,得BC∥AD,而AD⊂平面AED,BC⊄平面AED,则BC∥平面AED.由DE∥CF,CF⊄平面AED,DE⊂平面AED,得CF∥平面AED.又BC∩CF=C,BC,CF⊂平面BCF,所以平面ADE∥平面BCF.
(2)若G是棱BC的中点,求证:AE∥FG.证明:连接AG,延长EF,AG,与DC的延长线分别交于点O1,O2,由DE∥CF,DE=2CF,得CO1=CD,由BC∥AD,G是棱BC的中点,得CO2=CD,因此点O1,O2重合,记为O,如图所示.由(1)知,平面ADE∥平面BCF,又平面AOE∩平面ADE=AE,平面AOE∩平面BCF=FG,所以AE∥FG.
解决存在性问题一般先假设有关的元素(点、直线、平面)存在,然后从这个元素满足的结论出发,寻找使这个结论成立的充分条件.若找到了使结论成立的充分条件,则存在;若找不到使结论成立的充分条件或出现矛盾,则不存在.而对于探求点的问题,一般先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明即可.
【对点训练3】(人教B版必修第四册P111习题11-3CT2改编)如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,BC=3B1C1,TB=2TC,E,F分别是BB1,CC1的中点,M为AC上一点.
(1)若M是AC的中点,求证:ME∥平面AB1C1;解:证明:如图1,取AB的中点N,连接MN,NE,因为M是AC的中点,N是AB的中点,所以MN∥BC.又BC∥B1C1,所以MN∥B1C1.又MN⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1, 所以MN∥平面AB1C1.因为 N,E分别是AB,BB1的中点,所以NE∥AB1.又NE⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以NE∥平面AB1C1.又MN∩NE=N,MN,NE⊂平面MNE,所以平面MNE∥平面AB1C1.又ME⊂平面MNE,所以ME∥平面AB1C1.
(2)若AB1∥平面TMF,求点M的位置.解:如图2,在等腰梯形BCC1B1中,BC=3B1C1,在BC上取一点P,使BC=3BP,连接C1P,则B1C1=BP,又B1C1∥BP,所以四边形BB1C1P是平行四边形,所以BB1∥C1P.因为TB=2TC,P为TB的中点,所以TC=TP,即T是PC的中点.
又F是CC1的中点,所以FT∥C1P,所以FT∥B1B.又B1B⊄平面TMF,FT⊂平面TMF,所以B1B∥平面TMF.因为AB1∥平面TMF,AB1∩B1B=B1,B1B,AB1⊂平面AB1B,所以平面AB1B∥平面TMF.因为平面AB1B∩平面ABC=AB,平面TMF∩平面ABC=MT,所以AB∥MT.在△ABC中,TB=2TC,所以MA=2MC,即M为AC上靠近点C的三等分点.
证明:因为BC∥AD,BC=2,AD=4,M为AD的中点,所以BC∥MD,BC=MD,所以四边形BCDM为平行四边形,所以BM∥CD.又因为BM⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,所以BM∥平面CDE.
1.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与平面AA1B1B平行的直线为(　 　)解析:由题意得AB⊂平面AA1B1B,BC,AC与平面AA1B1B都相交,因为CC1∥AA1,CC1⊄平面AA1B1B,AA1⊂平面AA1B1B,所以CC1∥平面AA1B1B.故选B.
2.(5分)已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是(　 　)A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线与平面β平行C.平面α内有无数条直线与平面β平行D.平面α内有两条相交直线与平面β平行解析:对于A,平面α内有一条直线与平面β平行,α,β可能平行,也可能相交,故A错误;对于B,平面α内有两条直线与平面β平行,α,β可能平行,也可能相交,故B错误;对于C,平面α内有无数条直线与平面β平行,α,β可能平行,也可能相交,故C错误;对于D,平面α内有两条相交直线与平面β平行,由面面平行的判定定理可知α∥β,故D正确.故选D.
3. (5分)如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,H,G分别为BC,CD的中点,则 (　 　)A.BD∥平面EFGH,四边形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD,四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,四边形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,四边形EFGH是梯形
4. (5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH,分别交C1D1,A1B1,AB,CD于E,F,G,H,则四边形EFGH为 (　 　)A.平行四边形B.菱形C.矩形D.梯形
解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面EFGH∩平面ABCD=GH,平面EFGH∩平面A1B1C1D1=EF,所以EF∥GH,同理可证EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形.故选A.
5. (5分)(人教B版必修第四册P108练习BT2改编)如图,已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC=(　 　)A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.4∶25
7.(6分,多选)已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是(　 　)A.若a∥b,b⊂α,则a∥αB.若a,b是异面直线,a⊂α,a∥β,b⊂β,b∥α,则α∥βC.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥βD.若a⊄α,a∥b,b⊂α,则a∥α
解析:对于A,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故A错误;对于B,因为a⊂α,a∥β,所以由线面平行的性质定理可知在β内存在l⊄α,且l∥a,进而可得l∥α,因为a,b是异面直线,b⊂β,所以l与b相交,又b∥α,所以由面面平行的判定定理得α∥β,故B正确;对于C,平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α与β可能相交,故C错误;对于D,若a⊄α,a∥b,b⊂α,则a∥α,故D正确.故选BD.
8.(6分,多选)如图,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则直线AB与平面MNQ平行的是 (　 　)
解析:对于A,如图1,连接BC,交MN于点E,连接EQ,则EQ,AB⊂平面ABC,且直线EQ与直线AB显然不平行,所以直线AB与平面MNQ相交,故A错误;对于B,如图2,连接CD,因为AB∥CD∥MQ,MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故B正确;对于C,如图3,取AC的中点F,连接FN,FM,FQ,易证M,N,Q,F四点共面,AB∥QF,又QF⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故C正确;对于D,如图4,连接CD,因为MN∥CD∥AB,MN⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故D正确.故选BCD.
9.(5分)如图,空间图形ABC-A1B1C1是三棱台,在点A1,B1,C1,A,B,C中取3个点确定平面α,α∩平面A1B1C1=m,且m∥AB,则所取的这3个点可以是____________________.
A,B,C1(答案不唯一)
解析:由空间图形ABC-A1B1C1是三棱台,可得平面ABC∥平面A1B1C1,当平面ABC1为平面α,平面α∩平面A1B1C1=m时,因为平面α∩平面ABC=AB,所以由面面平行的性质定理可知m∥AB,所取的这3个点可以是A,B,C1.
10. (5分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,E为AD的中点,F在PA上,AP=λAF,PC∥平面BEF,则λ的值为__.
11.(19分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是线段A1B,AC1的中点.(1)求证:MN∥平面ABC.解:证明:如图,连接A1C,则N也为A1C的中点.因为M为A1B的中点,所以MN为△A1BC的中位线,所以MN∥BC.又MN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以MN∥平面ABC.
(2)在线段BC1上是否存在一点P,使得平面MNP∥平面ABC?若存在,指出点P的具体位置;若不存在,请说明理由.解:存在,当P为BC1的中点时,平面MNP∥平面ABC.证明如下:如图,连接PM,PN,因为N为AC1的中点,P为BC1的中点,所以PN∥AB,又PN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以PN∥平面ABC,又由(1)知MN∥平面ABC,且MN∩PN=N,MN,PN⊂平面MNP,所以平面MNP∥平面ABC.
13.(5分)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E,F分别为AD,CD的中点,以AF为折痕把△ADF折起,使点D不落在平面ABCF内(如图2),有以下三个结论:①CF∥平面ABD;②BE∥平面CDF;③CD∥平面BEF.其中正确的结论是____.(填序号)
解析:对于①,因为CF∥AB,CF⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,所以CF∥平面ABD,所以①正确;对于②,延长AB到点G,使BG=AB,连接DG,如图1,因为E为AD的中点,所以BE∥DG,因为DG与平面CDF交于点D,所以BE与平面CDF不平行,所以②不正确;对于③,连接AC交BF于点O,连接OE,如图2,因为AB∥CF,AB=CF,所以四边形ABCF为平行四边形,所以O为AC的中点,因为E为AD的中点,所以OE∥CD,又OE⊂平面BEF,CD⊄平面BEF,所以CD∥平面BEF,所以③正确.
14. (5分)如图,四面体A-BCD中,AD=BC=2,AD⊥BC,平行于直线AD和BC的平面分别和棱AB,AC,CD,BD交于点E,F,G,H.有以下四个结论:①四边形EFGH的周长为定值;②四边形EFGH的面积为定值;③四边形EFGH为矩形;④四边形EFGH的面积有最大值1.其中正确的结论是______.(填序号)