2025高考数学一轮复习-7.3空间直线、平面的平行【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.3空间直线、平面的平行【课件】，共58页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，直线与平面平行，一条直线，平面与平面平行，相交直线，平行四边形，考点突破题型剖析，又PM∥AB∥QN，分层训练巩固提升，①或③等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理
1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2.三种平行关系的转化
解析　(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(　　)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　　)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　)
解析　因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.
2.下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(　　)A.直线a上有无数个点不在平面α内B.直线a与平面α内的所有直线平行C.直线a与平面α内无数条直线不相交D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
解析　根据m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；反之，α∥β，m⊂α，所以m和β没有公共点，所以m∥β，即由α∥β能得到m∥β.所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析　A.若m∥α，n∥β且α∥β，则可能m∥n，m、n异面，或m，n相交，A错误；B.若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正确；C.若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，又α∥β，m⊄β，故m∥β，C正确；D.若m∥n，n⊥α，则m⊥α，又α⊥β，则m∥β或m⊂β，D错误.
4.(多选)已知m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)A.若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βC.若m∥n，n⊂α，α∥β，m⊄β，则m∥βD.若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
解析　∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；
5.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是(　　)A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D1
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误.
解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.
6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______________.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
证明　法一　如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
例1 如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
角度1　直线与平面平行的判定
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.又AP＝DQ，∴PE＝QB，
又AB綉DC，∴PM綉QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.
法二　如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM.
则PM∥平面BCE，∵PM∥BE，
∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
角度2　直线与平面平行的性质
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
证明　如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.
训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.解　l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.
证明　由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.证明　由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
证明　∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，
训练2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点.(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.证明　∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点.
所以BC∥AE，BC＝AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点.又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.
(2)求证：GH∥平面PAD.证明　连接OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因为O是AC的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，所以OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，FH，OH⊂平面OHF，所以平面OHF∥平面PAD.又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.
证明　如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点.
训练3 如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：
(1)BE∥平面DMF；
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)平面BDE∥平面MNG.证明　因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，又DE⊄平面MNG，NG⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析　对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以A错误；
1.(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线.给出下列命题，其中正确的命题是(　　)A.若l上两点到α的距离相等，则l∥αB.若l⊥α，l∥β，则α⊥βC.若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥βD.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
对于B，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误.
解析　把这三条线段放在正方体内可得如图，
2.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　　)A.平行 B.相交C.AC在此平面内 D.平行或相交
显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，∵EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.
解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确.
3.下列命题中正确的是(　　)A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
解析　如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.
4.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　)A.0条 B.1条C.2条 D.1条或2条
∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.
解析　如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，
因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.
A.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH所在四边形的面积为定值C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行D.当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
6.(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是(　　)
解析　根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH－BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确.
解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确.
7.设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号).
8.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.
解析　①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图).④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.
解析　如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.
9.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
又因为AB∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，所以四边形ABQG是平行四边形，所以BQ∥AG，又BQ⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以BQ∥平面PAD.
10.已知在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q为PC的中点.(1)求证：BQ∥平面PAD；
证明　取PD的中点G，连接AG，GQ，
解　因为在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，所以点B在线段CD的垂直平分线上，
设点S到平面ABCD的距离为h，
又PD⊥平面ABCD，PD＝3，
所以点S在线段PC上靠近点P的三等分点处.
11.如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN∥平面C1DE；
证明　如图，连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
由题设知A1B1綉DC，可得B1C綉A1D，故ME綉ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
(2)求点C到平面C1DE的距离.解　过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.由已知可得CE＝1，C1C＝4，
12.(多选)《九章算术·商功》记载了一个古代数学名词“堑堵”.即两底面为直角三角形的直棱柱，亦即长方体的斜截平分体.如图所示，堑堵(即直三棱柱)ABC－DEF中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AD＝4，G是FC的中点，则下列说法正确的是(　　)
取ED，EA的中点M、N，连接MN，FM，GN，则MN∥FG，MN＝FG，∴四边形MNGF为平行四边形，∴MF∥NG，∵MF⊄平面AGE，NG⊂平面AGE，∴MF∥平面AGE，而MF⊂平面DEF，平面ABC∥平面DEF，B正确；
13.(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是线段BC1上的一动点，则下列说法中正确的是(　　 )
解析　对于A，由于平面A1BC1∥平面AD1C，A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面AD1C，所以A正确；
证明　连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
又MD1⊂平面A1D1DA，
PQ⊄平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.