2027届高考数学一轮总复习7.4空间直线、平面的垂直（课件）

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1.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的________直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面垂直(1)二面角:从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点O,以点O为垂足,在两个半平面内分别作________的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的______,二面角的平面角的取值范围是______.
3.空间距离(1)点到平面的距离:过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的______,垂线段的长度叫做这个点到该平面的____.(2)直线到平面的距离:一条直线与一个平面平行时,这条直线上________到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.(3)两个平行平面间的距离:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的________到另一个平面的距离都____,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
4.垂直、平行关系的相互转化
1.三垂线定理若平面内的一条直线和平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理若平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.
3.两个重要结论(1)若两平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直,则l⊥α.(　 　)(2)若直线a⊥α,b⊥α,则a∥b. (　 　)(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　 　)(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α. (　 　)
2.(人教A版必修第二册P151例3改编)已知直线a,b和平面α,若a∥α,则“b⊥a”是“b⊥α”的 (　 　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:必要性:若a∥α,则存在直线m⊂α,a∥m,因为b⊥α,m⊂α,所以b⊥m,因为a∥m,所以b⊥a,必要性成立;充分性:如图,设平面ABCD为平面α,直线A1B1为直线a,直线B1C1为直线b,满足a∥α,b⊥a,但B1C1∥平面ABCD,即b∥α,充分性不成立.所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件.故选B.
3. (人教A版必修第二册P158例7改编)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是(　 　)A.平面ABCDB.平面PBCC.平面PADD.平面PAB解析:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.
4.(人教A版必修第二册P162练习T1改编)已知直线a,b,l和平面α,则下列命题正确的是(　 　)A.若a∥b,a∥α,则b∥αB.若a∥b,a⊄α,b⊄α,a∥α,则b∥αC.若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,则l⊥αD.若a⊥b,a⊥α,则b∥α解析:对于A,若a∥b,a∥α,则可能b⊂α或b∥α,故A错误;对于B,若a∥b,a⊄α,b⊄α,a∥α,则b∥α,故B正确;对于C,若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,则当a∥b时,l与α不一定垂直,故C错误;对于D,若a⊥b,a⊥α,则可能b⊂α或b∥α,故D错误.故选B.
考点1 直线与平面垂直的判定与性质【例1】　如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求证:A1C⊥B1D1;【证明】如图,连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形,所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1=C1,A1C1,CC1⊂平面A1C1C,所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C⊂平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.
(2)若M,N分别为B1D1,C1D上的点,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证:MN∥A1C.【证明】如图,连接B1A,AD1.因为B1C1=AD,B1C1∥AD,所以四边形ADC1B1为平行四边形,所以C1D∥AB1.因为MN⊥C1D,所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1,AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1,所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1,所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.
1.证明直线和平面垂直的常用方法(1)判定定理.(2)两种传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α;a⊥α,α∥β ⇒a⊥β).(3)面面垂直的性质.2.证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直常借助线面垂直的定义.3.判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
【对点训练1】如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;证明:如图,在平面ABC内取一点D,过点D作DF⊥AC于点F,DG⊥AB于点G.因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,DF⊂平面ABC,所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC,所以DF⊥PA.同理可证DG⊥PA.因为DG,DF都在平面ABC内,且DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.
(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.证明:如图,连接BE并延长交PC于点H.因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.因为AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,所以PC⊥AE.因为AE∩BH=E,AE,BH⊂平面ABE,所以PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE,所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,所以PA⊥AB.因为PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
考点2 平面与平面垂直的判定与性质【例2】　如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC.(1)若AB⊥BC,求证:平面A1BC⊥平面AA1B1B;【证明】∵AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AA1⊥BC.又AB⊥BC,AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面AA1B1B,∴BC⊥平面AA1B1B.又BC⊂平面A1BC,∴平面A1BC⊥平面AA1B1B.
(2)若平面A1BC⊥平面AA1B1B,求证:AB⊥BC.【证明】如图,过点A作AD⊥A1B于点D,∵平面A1BC⊥平面AA1B1B,平面A1BC∩平面AA1B1B=A1B,AD⊂平面AA1B1B,∴AD⊥平面A1BC.又BC⊂平面A1BC,∴AD⊥BC.又AA1⊥BC,AA1∩AD=A,AD,AA1⊂平面AA1B1B,∴BC⊥平面AA1B1B.∵AB⊂平面AA1B1B,∴AB⊥BC.
1.面面垂直的两种判定方法与一个转化(1)两种方法:面面垂直的定义;面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化:在已知两个平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.2.面面垂直性质定理的应用(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
【对点训练2】　如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB, ∠BAD =90°,∠BCD=45°,E为对角线BD的中点,现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置,使平面PBD⊥平面BCD.求证:
(1)直线PE⊥平面BCD;证明:因为PB=PD,E为BD的中点,所以PE⊥BD.又因为平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD=BD,PE⊂平面PBD,所以PE⊥平面BCD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.证明:在直角梯形ABCD中,AD=AB,∠BAD=90°,则∠ABD=∠ADB=45°,又AD∥BC,所以∠DBC=45°.又∠BCD=45°,所以∠BDC=90°,所以在折后的几何体P-BCD中,BD⊥DC.因为平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,所以CD⊥平面PBD.又BP⊂平面PBD,则CD⊥BP.又BP⊥PD,CD∩PD=D,PD,CD⊂平面PCD,所以BP⊥平面PCD.又BP⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PCD.
考点3 垂直关系的综合应用【例3】　如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是BC,AA1的中点.
(2)若AB=AC,BC=BB1,在棱CC1上是否存在点P,使B1C⊥平面PAE?如果存在,指出点P的位置;如果不存在,请说明理由.【解】在棱CC1上存在点P,使B1C⊥平面PAE.因为AB=AC,E是BC的中点,所以AE⊥BC.因为BB1⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,所以BB1⊥AE.又BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BCC1B1,所以AE⊥平面BCC1B1.又B1C⊂平面BCC1B1,所以AE⊥B1C.如图2,连接BC1,因为BC=BB1,所以四边形BCC1B1是正方形,则BC1⊥B1C.当P为CC1的中点时,EP∥BC1,则B1C⊥EP.又AE,EP⊂平面PAE,AE∩EP=E,所以B1C⊥平面PAE.
1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.2.对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证.
【对点训练3】　如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,∠BAP=∠CDP=90°,△PAD是正三角形,且PA=AB,M,N分别在线段PA,PB上.
(1)当点M在什么位置时,DM⊥平面PAB?解:当M为线段PA的中点时,DM⊥平面PAB. 证明如下:如图1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD. ∵∠BAP=∠CDP=90°,∴AB⊥AP,CD⊥DP, ∴AB⊥DP.又DP,AP⊂平面PAD,PD∩AP=P,∴AB⊥平面PAD.∵DM⊂平面PAD,∴AB⊥DM.∵△PAD是正三角形,M是AP的中点,∴DM⊥AP.又AP∩AB=A,AP,AB⊂平面PAB,∴DM⊥平面PAB.
(2)在(1)的条件下,当点N在什么位置时,平面DMN⊥平面PBC?解:在(1)的条件下,当DN⊥PB时,平面DMN⊥平面PBC,此时N为线段PB上靠近点P的四等分点.证明如下:如图2,连接DB,∵DM⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,∴DM⊥PB.又DN⊥PB,DN∩DM=D,DN,DM⊂平面DMN,∴PB⊥平面DMN.∵PB⊂平面PBC,∴平面DMN⊥平面PBC.由(1)知AB⊥平面PAD,而AD⊂平面PAD,∴AB⊥AD,又AB=AD,
证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.∵AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD.∵AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.
1.(5分)(2025·天津卷)已知m是一条直线,α,β是两个平面.下列命题正确的是(　 　)A.若m∥α,m∥β,则α∥βB.若m⊥α,m⊥β,则α⊥βC.若m∥α,m⊥β,则α⊥βD.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β
解析:对于A,若m∥α,m∥β,则α,β平行或相交,故A错误;对于B,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故B错误;对于C,若m∥α,则α内存在直线l,使l∥m,又m⊥β,则l⊥β,又l⊂α,故α⊥β,故C正确;对于D,若α⊥β,m⊂α,则m与β可能平行或相交或m⊂β,故D错误.故选C.
2.(5分)已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β成立的充分条件是 (　 　)A.a∥α,b∥β,a⊥bB.α⊥γ,β⊥γC.a∥α,a⊥βD.α∩β=a,a⊥b,b⊂β
解析:对于A,若a∥α,b∥β,a⊥b,则α与β可能相交,也可能平行,故A错误;对于B,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能相交,也可能平行,故B错误;对于C,设过直线a的平面与α交于直线c,因为a∥α,所以a∥c,又a⊥β,所以c⊥β,又c⊂α,所以α⊥β,故C正确;对于D,若α∩β=a,a⊥b,b⊂β,作直线d使得a⊥d,且d⊂α,则b与d的夹角或其补角即二面角α-a-β的平面角,因为该二面角不一定为直角,所以α与β不一定垂直,故D错误.故选C.
3. (5分)如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(　 　)A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
解析:因为AB=CB,E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,因为BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BDE,所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.故选C.
4. (5分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上的射影H必在 (　 　)A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析:由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1⊂平面ABC1,得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.故选A.
5.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　 　)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D
解析:对于A,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,BD,DD1⊂平面BDD1,所以EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正确;对于B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故B错误;对于C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故C错误;对于D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面A1C1D与平面B1EF不平行,故D错误.故选A.
6.(5分)在四面体A-BCD中,△BCD为正三角形,AB与平面BCD不垂直,则下列说法正确的是(　 　)A.AB与CD可能垂直B.A在平面BCD上的射影可能是BC.AB与CD不可能垂直D.平面ABC与平面BCD不可能垂直
解析:对于A,C,如图,取CD的中点E,连接AE,BE,因为△BCD为正三角形,所以BE⊥CD,假设AB⊥CD,因为AB∩BE=B,AB,BE⊂平面ABE,所以CD⊥平面ABE,所以CD⊥AE,又因为E是CD的中点,所以AC=AD,故只需满足AC=AD,即可得到AB⊥CD,故A正确,C错误;对于B,若A在平面BCD上的射影为B,则有AB⊥平面BCD,与题干矛盾,故B错误;对于D,过点C可以作出一条直线,使得该直线垂直于平面BCD,点A只需在该直线上,即满足AC⊥平面BCD,此时平面ABC⊥平面BCD,故D错误.故选A.
7.(6分,多选)(人教A版必修第二册P151例3、P163习题8.6T10改编)设l,m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列说法正确的有 (　 　)A.若α∥β,m∥n,m⊥α,则n⊥βB.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥αC.若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥βD.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n
解析:对于A,由α∥β,m⊥α,可得m⊥β,又m∥n,所以n⊥β,故A正确;对于B,由线面垂直的判定定理知,若缺少“m与n相交”的条件,则不能推出l⊥α,故B错误;对于C,由n⊥α,n⊥β,可得α∥β,又m⊥α,所以m⊥β,故C正确;对于D,由m⊥α,n⊥α,可得m∥n,又l∥m,所以l∥n,故D正确.故选ACD.
8. (6分,多选)如图所示,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上异于A,B的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的投影,则 (　 　)A.AF⊥PBB.EF⊥PBC.AF⊥BCD.AE⊥平面PBC
解析:对于A,C,连接AC(图略),则BC⊥AC,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,又AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF,又AF⊥PC,BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PBC,所以AF⊥平面PBC,又PB⊂平面PBC,所以AF⊥PB,故A,C正确;对于B,因为AF⊥PB,AE⊥PB,AF∩AE=A,AF,AE⊂平面AEF,所以PB⊥平面AEF,又EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB,故B正确;对于D,若AE⊥平面PBC,因为AF⊥平面PBC,所以AE∥AF,而AE∩AF=A,所以矛盾,即AE与平面PBC不垂直,故D错误.故选ABC.
9.(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上任意一点,F为底面A1B1C1D1(除点C1外)内一点,请给出一个点F的位置,使得EF⊥AD,点F可以是__________________.解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面CDD1C1.因为E为棱CC1上任意一点,当点F∈C1D1时,EF⊂平面CDD1C1,所以AD⊥EF,所以F为C1D1上除点C1外的任意一点.
10.(5分)如图,PA⊥矩形ABCD所在平面,有下列结论:①PB⊥BC;②PD⊥CD;③PD⊥BD;④PA⊥BD.其中正确的是_________.(填序号)
解析:因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,在矩形ABCD中,BC⊥AB,又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因为PB⊂平面PAB,所以PB⊥BC,故①正确;同①可证CD⊥平面PAD,则PD⊥CD,故②正确;由题意可知PB2=PA2+AB2,PD2=PA2+AD2,BD2=AD2+AB2,当PD⊥BD时,在△PDB中,有PD2+BD2=PB2,即PA2+AD2+AD2+AB2=PA2+AB2,解得AD=0,显然不成立,故③错误;因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,故④正确.
11. (18分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E为AD的中点.求证:(1)PE⊥BC;证明:因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD,因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.
(2)平面PAB⊥平面PCD.证明:因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.
12.(18分)如图,在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面QAD是正三角形,侧面QAD⊥底面ABCD,M是QD的中点.(1)求证:AM⊥平面QCD.解:证明:由侧面QAD是正三角形,M是QD的中点,得AM⊥QD.在正方形ABCD中,CD⊥AD.因为平面QAD⊥平面ABCD,平面QAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面QAD.又AM⊂平面QAD,所以CD⊥AM.又CD∩QD=D,CD,QD⊂平面QCD,所以AM⊥平面QCD.
13.(6分,多选)(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则(　 　)A.AD⊥A1CB.B1C1⊥平面AA1DC.AD∥A1B1D.CC1∥平面AA1D
14.(6分,多选)(2025·福建厦门三模)如图,一个漏斗的上面部分可视为长方体ABCD-A'B'C'D',下面部分可视为正四棱锥P-ABCD,O为正方形ABCD的中心,两部分的高都是该正方形边长的一半,则(　 　)A.A'O⊥ABB.A'O∥平面APDC.平面AA'P⊥平面BDPD.CC'与A'P为相交直线